A tA?tB?tC B tA?tB?tC C tA?tB?tC D 无法确定
解析：题设图中O点不在圆的最低点，故不是“等时圆”。延长OA，过B作BB⊥BO ，则O、B、B在同一圆周上，B处自由下落到O的时间和小球沿光滑杆由B无初速滑到O的时间相同。同理，过C作CC⊥CO，则O、C、C在同一圆周上，C处自由下落到O的时间和小球沿光滑杆由C无初速滑到O的时间相同。C/、B/、A自由下落到O的时间依次递减，故选项B正确。
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C/
B/
A 30030 0 B C O
3 延伸 图6 如图6所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点.每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处从静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环到达B、C、D所用的时间，则三个时间的关系是什么？
解析 A不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的.可以采用如下的方法解决.如图7所示，过点A作竖直线交AB的垂直平分线于点O1，以O1为圆心、O1A为半径画圆交AB于B、分别交AC、AD的延长线于C1、D1.在圆ABC1D1中用前面的结论可知 ，所以t1>t2.不可以根据CC1 另解 假设圆的半径为R，建立如图8所示的直角坐标系.连接AO并假设其与x轴的夹角为α，则A点的坐标为（Rcosα，Rsinα）.设直线AB与x轴的夹角为θ，则直线AB的斜率为k=tanθ，直线AB的方程为 y—sinα=tanθ（x—cosα）， 整理变形有
xtanθ—y+sinα—tanθcosα=0，
由数学知识可知，坐标原点到直线AB的距离为 OE=|sinα—tanθcosα|1+tan2θ， 由几何知识解得
BE2=R2（1—sin2α+tan2θcos2α—2sinαcosαtanθ1+tan2θ）， 整理得
BE=（cosθcosα+sinαsinθ）R， 由牛顿第二运动定律有环的加速度 a=gsinθ，
由运动学公式有 2BE=12gsinθt2， 解得小环运动时间为
t=4R（cosαcosθ+sinαsinθ）gsinθ =4Rg（cosαcotθ+sinα）， 所以θ增大，时间减小， t1>t2>t3.
当式中α=90°时，t=2Rg，与倾角、杆长无关，就是前面推导的等时圆规律.
说明2 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ.环处于加速下滑的条件是μ 2BE=12（gsinθ—μgcosθ）t2，
300 D 解得环运动时间
t=4R（cosαcosθ+sinαsinθ）gsinθ—μgcosθ， 变形为
t=4Rg（cosαtanθ—μ+sinα1—μtanθ）， 由此式可知：θ增大，时间t减小，即 t1>t2>t3.
当式中α=90°或α=—90°、μ=0时，时间t=2Rg.可见等时圆规律适用的条件是：细杆光滑、A点为圆周的最高点或最低点.
四、比较应用等时圆模型解典型例题
如图9，底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至少需要多少时间？
答案：用作图求解。如图10，以b为半径、O为圆心作一个圆，作出圆的一条竖直切线MN，于圆切于D点。A点为所作圆的最低点。由图可看出：从MN上不同的点由静止滑到A点，以DA时间为最短。（由“等时圆”可知，图中E/、D、C/各点到达A的时间相等。）所以小球从底边b为定长的光滑直角斜面上滑下时以45°的时间为最少，而且此时间与球从P点自由下落到圆最低点的时间相等。所以tmin?
2. 有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是600，450和300，这些轨道交于O点．现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是 B
A.甲最先，乙稍后，丙最后 B.乙最先，然后甲和丙同时到达 C.甲、乙、丙同时到达 D.乙最先，甲稍后，丙最后
解析：设斜面底边长为l，倾角为?，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为a?gsin?，物体的位移为x?lcos?。
物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得得t?2l?gsin?cos?4l， l、g一定，所以当?gsin2?图9
4b。 g图10
l1?gsin?t2， cos?2tmin?4lg?45?时，
2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ）
A、a处小孩最先到O点 B、b处小孩最先到O点
c C、c处小孩最先到O点 D、a、c处小孩同时到O点
解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不b a 可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径
4RR1为R，则=gsinθt2，t2=，当θ=450时，t最小，当
gsin2?cos?2θ=300和600时，sin2θ的值相等。
O θ 例3：如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2l）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？
【解析】：方法一：如图所示，设斜面底边长为l，倾角为?，则雨滴沿光滑斜面下淌时加速度为a?gsin?，雨滴的位移为x?lcos?。 雨滴由斜面顶端由静止开始运动到底端， 由运动学公式得得t?tmin?l1?gsin?t2， cos?24l，
gsin2?2l?gsin?cos?4lgl、g一定，所以当??45?时，
图3
方法二（等时圆）：如图4所示，通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切。然后，画倾角不同的屋顶A1B、A2B、A3B…
从图4可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有A2B是圆的弦，而其余均为圆的割线。根据“等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为tmin?2d?g2?2LL
?2gg图4
而屋顶的倾角则为tan??L?1???450 L
【例6】在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O
同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图13所示，OP=d＜R。欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置（用OM与水平面的夹角α的三角函数表达）。
解析：若用解析法求解，轨道长度由余弦定理求得
PM?d2?R2?2dRcos?
设轨道PM与水平面夹角为θ，则物体沿轨道下滑的加速度
a?gsin?
dR?由正弦定理得：
sin( ???)sin(???)又 PM?
M P d O α θ 图13
12at 2
联立以上四个方程，有α、θ、PM、a和t五个变量，可以建立起下滑时间t与OM倾角α之间的函数关系，再利用数学工具求极值，但计算相当复杂。
如果改用“等时圆”作图求解，以定点P为最高点，可作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”， 所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与大环内切的“等时圆”半径最小，如图14所示，该“等时圆”的圆心O/满足O?M?O?P，且在OM连线上。该圆就是由P到定圆的半径最小的“等时圆”，物体沿轨道由P滑到M点的时间也最短。
P d O θ r α ·O/ R2?d2几何关系有r?d?R?r，得r?
2R22M 图14 则OM与水平面的夹角α满足tan??rR?d?或d2dR22R2?d2??arctan。
2dR【例5】如图10所示，在同一竖直平面内，地面上高H的定点P，到半径为R的定圆的水平距离为L，从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上。现使物体从P点释放后，沿轨道下滑到定圆的时间最短，该轨道与竖直方向夹角应多大？H和L满足题设要求。
解析：先用解析法求解。如图11所示，延长PM与定圆相交于N，过N作水平线与PD相交于K，则物体沿光滑轨道下滑的加速度为gsinθ，即 a?g?又 PM?PK， PNT M 12at ， 2?P α M′ H K N θ Q D 图11
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