高中数学三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)含答案

高中数学三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)含答案

一、三角函数与解三角形多选题

1．如图，ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a?b，且

3?acosC?ccosA??2bsinB，D是ABC外一点，DC?1，DA?3，则下列说法

正确的是（ ）

A．ABC是等边三角形

B．若AC?23，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积最大值为D．四边形ABCD面积最小值为【答案】AC 【分析】

利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sinB，再利用a?b，可知ABC为等边三角形，从而判断A；利用四点A，B，C，D共圆，四边形对角互补，从而判断B；设

53?3 253?3 2AC?x，x?0，在ADC中，由余弦定理可得x2?10?6cosD，利用三角形的面积公

式，三角函数恒等变换的，可求S四边形ABCD，利用正弦函数的性质，求出最值，判断

CD．

【详解】

由正弦定理a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC， 得3?(sinAcosC?sinCcosA)?2sinB?sinB，

?3?2sinB,?sinB?3， 2a?b，B是等腰ABC的底角，?B?(0,?2)，

?B??3,?△ABC是等边三角形，A正确；

B不正确：若A,B,C,D四点共圆，则四边形对角互补， 由A正确知?D?2?1,cosD??， 32但由于DC?1,DA?3,AC?23时，

DC2?DA2?AC212?32?(23)211cosD??????，

2?DA?DC2?1?332∴B不正确． C正确，D不正确：

设?D??，则AC2?DC2?DA2?2DC?DA?cos??10?6cos?，

?S△ABC?35333?(10?6cos?)??cos?， 422S△ADC?3sin?， 2ABC?S四边形ABCD?S?3(sin???SADC?33353， sin??cos??2221353， ?cos??)?222?3sin(???3)?53， 232?3??(0,?),?sin(??)?(?,1]，

??3?S四边形ABCD?故选：AC.． 【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．

53?3，∴C正确，D不正确； 2

2．已知??2＜θ＜?2，且sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），则关于tanθ的值，在以下

四个答案中，可能正确的是（ ） A．﹣3 【答案】CD 【分析】

先由已知条件判断cos??0，sin??0，得到?1?tan??到正确答案. 【详解】

∵sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），

B．

1 3C．?

13D．?1 2sin??0，对照四个选项得cos?a2?1∴两边平方得：1+2sin?cos?=a，∴sin?cos?=?0，

22∵??22sin??0， ∴tan??cos?＜???，∴可得cos??0，sin??0，

又sinθ+cosθ＝a?0，所以cosθ＞﹣sinθ，所以tan??sin???1 cos?sin??0， cos?11所以tanθ的值可能是?，?．

32故选：CD 【点睛】

所以?1?tan??关键点点睛：求出tan?的取值范围是本题解题关键．

3．对于函数f(x)?sinx?cosx?2sinxcosx，下列结论正确的是（ ） A．把函数f(x)的图象上的各点的横坐标变为原来的象，则?是函数y=g(x)的一个周期 ?3?B．对?x1,x2???,2???，若x1?x2，则f?x1??f?x2? ?1倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图2C．对?x?R,??????f??x??f??x?成立 ?4??4?D．当且仅当x?【答案】AC 【分析】

?4?k?,k?Z时，f(x)取得最大值2?1

根据三角函数的变换规则化简即可判断A；令t?sinx?cosx????2sin?x??，

4??f?t??t2?t?1，判断函数的单调性，即可判断B；代入直接利用诱导公式化简即可；首

先求出f?t?的最大值，从而得到x的取值； 【详解】

解：因为f(x)?sinx?cosx?2sinxcosx?sinx?cosx??sinx?cosx??1，令

2???t?sinx?cosx?2sin?x??，所以t???2,2?，所以f?t??t2?t?1， ??4??对于A：将f(x)?sinx?cosx?2sinxcosx图象上的各点的横坐标变为原来的

1倍，则2g(x)?sin2x?cos2x?2sin2xcos2x，所以