电磁学中几个基本矢量的性质

电磁学中几个基本矢量的性质

杨东杰 2900103013

摘要 本文在学习完电磁学的基本矢量知识的基础上，统一地推导研究电磁学中各个矢量旋度及其边界条件。 关键字

散度 旋度 边界条件

的性质，即散度、

引言 在学习了第二章关于电磁场的一些基本规律之后，我们知道了很多电磁场的基本理论知识，但是书本上都是分别逐一地对各个矢量的性质，如散度、旋度及边界条件进行推论，所以本文意在对各个矢量的性质作一个统一的推导总结，从而加深对知识的理解。 正文

一， 电场强度的散度、旋度及边界条件。 1， 散度。用电荷按体密度

分布库伦定律：

利用

可将

写为

对上式两边取散度，得

利用关系式，上式变为

在利用函数的挑选性，有

则由式(2)得

因已假设电荷分布在区域V内，故可由上式得的E散度

2， 旋度。

在静电场中，由式1，微分算符是对场点坐标求导，与源点坐标无关，故可将算符从积分中移出，即

对上式两边取旋度，即

上式右边括号内是一个连续标量函数，而任何一个标量函数的梯度再求旋度时恒等于0，则得

在时变电磁场中，变化的磁场会产生电场。在一回路中，由法拉第电磁感应定律，得

利用斯托克斯定理，上式可表示为

上式对任意回路所谓面积S都成立，故必有

3， 边界条件。

在参数分别为

的两种媒

，

质的分界面上，设分界面法向单位矢量为

是沿分界面的切向单位矢量。则在垂直于分界面的矩形闭合路径abcda上，由麦克斯韦第二方程，当

时有

故得 也可写为

或

表明电场强度的切向分量是连续的。 二， 电位移矢量的散度、旋度及边界条件。 1， 散度。

在电介质中，在外场作用下电介质发生极化，产生极化电荷。电介质中的电场可视为自由电荷和极化电荷在真空中产生电场的叠加，即

。将真空中成立的式3推广至电介质中，得

即极化电荷代入上式得

也是产生电场的通量源。由式

(后面会推导)

而由于

，我们得到

2， 旋度。

由于本构关系在静电场中，

，我们可以由的旋度直接得到：

而在时变电磁场中，