一元一次方程知识精华

6.1 从实际问题到方程 知识点一：方程的概念

分析：代数式是用运算符号（）把数字和表示数字的字母连接起来的式子（单独的一个数字或字母也叫代数式），（两个代数式用等号连接起来就成了等式。二方程式是含有未知数的等式），即方程式是特殊的等式，据此即可做出正确判断。 知识解读：

1、含有未知数的等式，叫做方程。

2、方程和等式的区别：方程是含有未知数的等式；等式可以含有未知数，也可以不含有未知数。 注意：（1）方程是特殊的等式，但等式不一定是方程。

（2）方程中的未知数可以是多个。 知识点二：方程的解

点拨：检验一个数是不是方程的解有3个步骤：（1）分别代入；（2）分别计算；（3）得出结论。

知识点三：把实际问题转化为数学问题—列方程 知识解读：

使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 注意：（1）方程的解是指方程中未知数的取值。一般来说，这个值是通过解方程求出来的。

（2）可根据方程解的意义来检验所给的数值是否是原方程的解。检验方法如下：将所给的未知数的值分别代入原方程的左边和右边，如果左边=右边，说明所得的解释原方程的解；如果左边≠右边，说明所得的解不是原方程的解。 知识解读：

根据题目中的等量关系列出方程，应先分析题目中的数量关系，列出未知数，再根据得到的

等量关系列出方程。

题型一：检验一个数是否是方程的解。 点拨：检验一个数是不是某个方程的解，需把握两点：（1）它是否是方程中未知数的值；（2）

将它分别代入方程的左、右两边，看它们的值是否相等。二者缺一不可。 题型二：列方程—和、差、倍、分问题

点拨：列方程解应用题，首先要设未知数x，用代数式表示题中其他的量，然后找出题中的

等量关系，列出方程。 题型三：列方程—劳力分配问题

点拨：劳力分配问题中要弄清楚调配前、调配、调配后的人数；还要弄清楚从哪个量调出，

调入哪个量及调配后的两量之间的关系，从而找出相等关系。 题型四：利用隐含的等量关系列方程

点拨：隐含的等量关系是指问题中的一些隐含的条件，这类关系需充分地去挖掘、分析，才

能清晰地找出其中的等量关系。 题型五：由图表提供的信息列方程

点拨：解答问题要理解“峰电、谷电”的含义，并且要知道两个公式：总价=单价X数量，

总电费=“谷电费”+“峰电费”。 题型六：综合探究

点拨：根据题意，本题可进行的构想不止上面三种，只要所填写的内容与列出的方程符合题

意，均可作为答案。如补充部分：两车同时从甲地出发，且到达乙地后都立即返回，那么当货车到达乙地返回时，摩托车距甲地还有多远？

课后巩固拓展探究 易错警示

易错点一：检验方程的解时，容易出现做题格式错误 易错点二：对题意的理解有误而导致列出错误方程 易错点三：审题不清，单位不统一 6.2 解一元一次方程

6.2.1 一元一次方程的解法 知识点一：等式的性质

点拨：要正确理解等式的基本性质1和2，特别是等式两边除以同一个数或同一个整式时，

除数不能为0。 知识解读：

等式的性质有两条：

性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c。

性质2：等式两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。用字母表示为：如果a=b，那么ac=bc，

ab?（c≠0）。 cc（1） 在运用等式的性质时，要在等式两边作相应的运算。

（2） 在性质1中，两边加（或减）的可以是同一个数，也可以是同一个式子。

（3） 在性质2中，两边同时除以的同一个数不能为0，并且不能随便乘或除以同一个式

子。

知识点二：方程的简单变形

点拨：方程变形时，两边必须同时进行完全相同的四则运算。

点拨：在进行方程的变形时，要注意方程两边加（或减、乘、除以）的是同一个数，并且在

两边除以同一个数时，这个数不能为0. 知识解读：

变性规则1：方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变。 变化规则2：方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变。 注意：应用变形规则1时，要注意“都”和“同一个”，一定要在方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式。

应用变形规则2时，要注意“同一个”和“不等于0的数”，方程的两边都除以0,0做除数无意义，方程的两边都乘以0，原方程为0=0，没有实际意义，也与原方程的解不同。 知识点三：一元一次方程的概念 点拨：（1）是方程的一定是等式，是等式的不一定是方程。（2）判断一个方程是否为一元一

次方程，首先必须对原方程进行变形（去分母、去括号、移项、合并同类项等），然后看变形后的方程是否满足四个条件：①只含一个未知数；②未知数次数是1；③未知数的系数不为0；④方程必须是整式方程。 知识解读：

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的方程

叫做一元一次方程。 一元一次方程的特征：（1）只含有一个未知数—一元； （2）未知数的次数都是1—一次； （3）等式的两边都是 —整式方程。

知识点四：移项解一元一次方程 点拨：（1）移项：将含有未知数的项数移到方程的一边，将不含有未知数的项移到方程的另

一边，使方程更接近于x=a（常数）的形式。

（2）合并同类项：使方程变得更加简单，为运用方程的变形规则、求出方程的解创造

条件。 （3）系数化为1：将形如ax=b（a、b为常数且a≠0）的方程，化为x=

b的形式。 a知识解读：

1、 将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，像这样的变形叫做移项。 2、 解方程就是根据方程的变形规则，采用一定方法，把一个方程变形为和原方程同解的简

单方程的过程。

（1） 由于解方程就是把方程化为x=a的形式，所以通常把含有未知数的项移到等式左边，

常数项移到等式右边，这样便于合并同类项。

（2） 移项必须变号。在方程的同一边交换位置不叫移项，此时项的符号也不能变。 注意：利用方程的变形规则，解简易方程时，一般按移项、合并同类项、系数化为1这个过程求解，具体先进行哪一步，要根据题目的情况而定，如果先合并简单就先合并，再移项。 知识点五：去括号解一元一次方程

点拨：去括号时，一是要看清括号前面的符号；二是系数要与括号内每一项相乘。 知识解读：

当方程中含有括号时，要先去掉括号，再移项，合并同类项，从而解出一元一次方程。 括号外的系数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同；括号外的系数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。 知识点六：去分母解一元一次方程

点拨：去分母时，分子要添加括号，并且不要漏乘没有分母的项。 知识解读：

当方程中含有分母时，方程两边乘以分母的最小分倍数，即可去掉分母，从而使含有分母的较复杂的方程简化。

（1） 去分母的理论依据是等式的性质2，即在方程的两边都乘个坟墓的最小公倍数，使

方程的系数化为整数。

（2） 去分母时不要漏乘没有分母的项。

（3） 如果分子是一个式子，在去分母时，不要忘记将分子作为一个整体加上括号。 题型一：等式的性质的运用

题型二：利用一元一次方程的定义解题

点拨：根据一元一次方程的结构特征得出m-1=1且m-2≠0是解答本题的关键，其中m-2≠0，保证等式中含有未知数，这一点在解含有字母系数的一元一次方程时尤其要注意。 题型三：灵活安排求解步骤巧解一元一次方程 点拨：在解一元一次方程时，根据方程的特点，灵活地安排步骤，本题中的解法2较为简单。 题型四：利用方程的解相同求字母的值

点拨：此题可理解成两个方程的解相同。由于第二个方程的解较容易求出，将求出的第二个方程的解代入较复杂的第一个方程，从而可确定m的值。 题型五：一元一次方程的解误问题 点拨：解决问题的关键是充分利用方程的解的概念，把方程的解与对应的方程紧密联系起来，从而求出a的值。

题型六：解特殊的一元一次方程 点拨：注意含字母的方程ax=b，。当a=0，b=0时，方程有无数个解，分类讨论不要忽略这一类情况。

题型七：特殊解的探究

点拨：此类题应先用含m的代数式表示方程的解，再根据这个解是正整数，来讨论m的取值情况。

课后巩固拓展探究 易错警示

易错点一：去分母时漏乘或分子是多项式形式时没加括号 易错点二：对分数的基本性质不透致误 6.2.2 一元一次方程的应用

知识点一：列方程解决实际问题的一般步骤

点拨：解方程的方法、步骤可以灵活多样，基本思路就是把“复杂”转化为“简单”。 知识解读：

用一元一次方程解决实际问题的步骤： 问题

求解分析方程解答

检验抽象其中分析和抽象的过程通常包括：

（1） 弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数（设元）； （2） 找出问题所给出的等量关系，它反映了未知量和已知量之间的关系；

（3） 对这个等量关系中涉及的量，列出所需的代数式，根据等量关系，列出方程。 在设未知数和作出解答时，应注意量的单位。 注意：

（1） 在一道应用题中，往往含有及格未知数，应恰当选择其中的一个，用字母x表示，

然后根据数量之间的关系，将其他及格未知量用含x的代数式表示出来，一般题目问什么就设什么。

（2） 解应用题，切勿漏写“答”，“设”和“答”都必须写清单位名称。 （3） 对于求得的解，先看它是否符合实际意义，再写“答”。

知识点二：利用“表示同一个量的两个不同的式子相等”为相等关系 知识解读：

“表示同一量的两个式子相等”，是列方程的另一个相等关系。它需要我们从不同的角度分析问题，从不同的途径表示同一量，从而找到相等关系，列出方程，解决问题。 知识点三：利用“总量等于分量之和”为相等关系 知识解读：

“总量等于各部分量的和”这是一种基本的相等关系，常在列方程中用到。 题型一：图表信息题

点拨：将情景题转化为文字应用题，善于从问题情境中寻找解决问题的等量关系很重要。 题型二：列方程解决行程问题

点拨：在解行程问题中，关键是根据路程、速度和时间三者之间的关系找出等量关系，列方程求解。

行程问题中的等量关系：路程=速度x时间。 ① 相遇问题：路程=时间x速度之和 ② 追及问题：路程=时间x速度之差