应用均值不等式求最值的变形技巧

应用均值不等式求最值的技巧

江山中学 杨作义

利用均值不等式求最值是高考的热点问题之一，这类问题主要包含两种情况——“和定积最大，积定和最小”，即已知某些变量（变量为正数）的积为定值时，求和的最小值；已知某些变量（变量为正数）的和为定值时，求积的最大值．在解题时，要遵循“一正（各项或各因式均为正值）、二定（和或积为定值）、三相等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件）”的原则．

但高考一般很少直接考查均值不等式的应用，而是需要同学们运用凑、拆、拼、添等技巧，对题中的式子进行调整、转化，使其符合应用均值不等式的情景．下面，我们就和同学们谈一谈应用均值不等式求最值的变形技巧．

一、添项法

如果所求式为a?b的形式，且ab不为定值，我们可以考虑使用添项法，给原式添上仅符号相反的项（加一项，减一项），使它变为a?c-c?b的形式，注意添项后符合“积为定值”的情景，再根据“积定和最小”的原则求出答案．

例1 设a＞b＞0，则a?211的最小值是 ?aba?a?b?（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解析：因为a?2111并非“定值”，所以不能直接套用均值不等式求解．由于该式的分?=aba?a?b?b?a?b?母中包含了“ab,a(a?b)”，如果添项后，新增的项和原有的项相乘能消去分母，得到定值，就能用均值不等式解决问题．

a2?11111??1??2＝a?ab?ab?＝?ab?≥2＋2＝4,当且???a(a?b)????aba(a?b)?aba?a?b?ab??a(a?b)?112且a(a?b)=时等号成立．结合a＞b＞0，解得a?2, b?.选D. aba(a?b)2仅当ab=评注：通过添项，把原式各项之积变为定值是求解例1的关键．在使用添项法时，关键是要明白添什么项，

以“谁”为“基准”，才能使代数式的积为定值．

比如例1中分别以分母ab与a(a?b)为“基准”，通过添、配、凑，使原式变为

1??1??的形式，根据“积定和最小”的原则求出了和的最小值． ab??a(a?b)?????ab??a(a?b)??一般来说，对于添项后属于“x?a型”的求最值问题，我们不妨用此法一试． x二、拆项法

当所求式子不具备两项和（或积）为定值或者虽有定值但等号不成立时，可采用裂项均分的方法，将项拆开并与代数式中的其他项重新组合，使其满足“一正、二定、三相等”的条件．

例2 函数y?cosx?22?π?x?kπ?，k?Z??的最小值是________．

cos2x?2?2解析：例2乍一看可以直接用均值不等式求解：y?cosx?222?2cosx??22，即

cos2xcos2x22cosx?2，而，由此可得2cosxymin?22．但这种解法是错误的，因为要取到最小值，必须满足cos2x=这是不成立的．因此这种解法取不到“等号成立”的条件．

拆项得y??cos2x???π11?12x?kπ?(k?Z)?10?cosx?1.因为，所以，（①）, 当??cos2x2cos2x?cos2x1122?2cosx?（②），当且仅当即cosx?1时等号成立．①②22cosxcosxcos2x?1时等号成立．又cos2x?两式同时取等号，可得ymin?2?1?3．

评注：例2告诉我们，在用均值不等式求最值时，既要考虑能取到定值，又要考虑能取到等号，为实现“一正、二定、三相等”达成完美的统一．在例2中，我们之所以会想到把

212一分为二，是因为cosx?cos2xcos2x的积为定值，且此时cosx有解．

三、换元法

对于一些多元条件的求最值问题，可以考虑使用化多元为一元的方法，将所求目标化为一元函数，再利用均值不等式求解．

如果条件中存在或通过化简能得到一个和为1的代数式，而要求的是一个含有相同变量的代数式的最小值，可将和为1的代数式与目标式相乘，变形后再利用均值不等式求解．

如果目标式含有分式且分母形式复杂,可以考虑用一元未知数替换分母，将问题转变为分母为一元未知数的问题再求解．

例3 [2011年高考数学浙江省（文科）第9题]若正数x,y满足x?3y?5xy，则3x?4y的最小值是 （A）

2428 （B） （C）5 （D）6 55解析：本题虽然没有直接列出一个代数式的和为1的条件，但由x?3y?5xy可得?以整体代换“1”．

由x?3y?5xy可得

1?13????1，所以可5?yx?131?13???5，即????1, yx5?yx?所以3x?4y?1?13?1?3x12y?1313x12y13?(3x?4y)?????2????5.选C． ??y?555?yx5xyx5????x3?0,所以x?．

5x?35本题还可以直接采用消元法求解： 用x表示y，再分离常数，结合均值不等式求解． 由x?3y?5xy可得y?所以3x?4y?3x?4x3???3?x???5x?35??133?1213??23?x?????5．

3?53?5?5???25?x??25?x??5?5???12?当且仅当3?x?????3?5?123??25?x??5??即x?1时，等号成立．选C．

例4 已知a,b都是负实数，则

ab?的最小值是____________.

a?2ba?b解析：例4的分式中分母是多项式，两项相乘不为定值，若能将分母转化为单项式，则有助于问题的解决． 因为a,b都是负实数，设m?a?2b,n?a?b, 可得a?2n?m,b?m?n．因为a,b都是负实数，所以

m?0,n?0，所以

nab2n?mm?n2nm2nm?0．所以??????2?2??2?22?2． ma?2ba?bmnmnmn评注：例4也采用了换元法，但它的巧妙之处在于用m替换了分母a?2b，用n替换了分母a?b,使分母

由多项式变成单项式,这种逆向思维使化简更为简便，计算更简单．

四、构造法

如果一些条件式经过变形改造，如取倒数、平方、因式分解等，出现和（或积）是定值，我们可以把目标式相关的项巧妙地组合在一起，使变形后目标式与条件式相对应，创造符合使用均值不等式的情景．

有些问题，我们还可以利用均值不等式具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，构造出含目标式（组合在一起视作一变元）的不等式，通过解不等式使问题获解．

例5 已知x?0,y?0,x?2y?2xy?8,则x?2y的最小值是 （A）3 （B）4 （C）

911 （D） 22解析：观察条件式x?2y?2xy?8和目标式x?2y，如果对条件式进行因式分解，将它变形为

(x?1)(2y?1)?的“积”式，再将该“积”式变为9?x?1?+?2y?1?的“和”式，便可利用均值不等式求出最

小值．

(?2由x?2y?2xy?8可得(x?1)y?1)，所以(x?1)?(y2?1?)x2?(y1)?(2，?即1)6?x?1?2y?1,?x?2,x?2y?4．当且仅当?时等号成立，解得?所以x?2y的最小值是4，选B．

x?2y?2xy?8y?1.??评注：由于所求式的形式为“和”式（如例5中的x?2y），所以我们应尝试从条件中寻找和目标式系数相等的、具有定值的“积”式.如果对条件式重新进行组合，构造出对应的“和”式（如例5中的?x?1?+?2y?1?），就能实现 “积定和最小”的目标．这正是此类问题的思考方向．

22例6 （2011年浙江省高考题）设x,y为实数．若4x?y?xy?1，则2x?y的最大值是__________.

解析：因所求最值的式子是“和”式，所以利用均值不等式化条件式中的“积”为目标式中的“和”，得到一个关于“和”式的不等式，解出这个“和”式的不等式即可．

33?2x?y?4x2?y2?xy?1,?(2x?y)2?3xy?1??2xy?1?????1

22?2?82102． ??2x?y??,?2x?y?mix?55评注：利用均值不等式具有“和式”与“积式”相互转化的功能，构造出含有目标式的不等式是突破的关键．这里，我们把目标式“2x?y”视作一个整体．当然，最后还应注意最后的开方，避免出错．

如何添项、拆项、换元、构造是不等式求最值问题的难点．要选准方法，关键还是要靠同学们认真分析，灵

活应用．其实，所有的配凑变形技巧，都是为了实现“一正、二定、三相等”的条件，使目标“和”与条件“积”对应，目标“积”与条件“和”对应．

【练一练】

1．已知关于x的不等式2x?22?7在x??a,???上恒成立，则实数a的最小值为___________． x?a2．已知a?0,b?0．a?b?2，则y?（A）

14?的最小值是 ab79 （B）4 （C） （D）5 223．设x,y均为正实数，且【参考答案】 1.

33??1，则xy的最小值为________. 2?x2?y32（提示：因为

x?a,所以

x?a?0，所以

2x?22?2x?(?a)?x?ax?a（

提

?2示

ax?2：

2?(a?x?a因

a．由4)4?2a2?2a?=7解得a?为

3） 2所

以

2.C

a?b?2，

y?11?4???1?????a?bab?ab?24??(?????ab?4911b?511ab454ab?a?即??．当且仅当?)??????2?ba?222ba2ba?2414924a?，b?时，等号成立，此时y??的最小值为）

33ab23.16（提示：整理

33??1得xy?8?x?y．因为x?0,y?0，所以xy?8?x?y?8?2xy，2?x2?y即xy?2xy?8?0．当且仅当x?y=4时等号成立，此时xy有最小值16）

———本文发表于《中学生天地》2013第2期