第3讲 二项式定理
[基础题组练]
?24?3
1.?2－x?的展开式中的常数项为( ) ?x?
A．－32 C．6
rB．32 D．－6
?2?3－r4rr3－rr－6＋6r解析：选D.通项Tr＋1＝C3?2?(－x)＝C3(2)·(－1)x，当－6＋6r＝0，
?x?
即r＝1时为常数项，T2＝－6，故选D.
2．(1＋x)＋(1＋x)＋(1＋x)的展开式中x的系数为( ) A．50 C．45
5
6
5
6
7
4
B．55 D．60
7
4
4
4
4
解析：选B.(1＋x)＋(1＋x)＋(1＋x)的展开式中x的系数是C5＋C6＋C7＝55.故选B.
?x＋3?n?的展开式中，各项系数的和3．(2020·四川成都实验外国语学校二诊)已知?3??x??
与其各项二项式系数的和之比为64，则n＝( )
A．4 C．6
B．5 D．7
?x＋3?n?x＋3?nnn?的各项系数的和为(1＋3)＝4，二项式??的各解析：选C.二项式?33????x?x???
4n项二项式系数的和为2，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以n＝2
2
nn＝64，n＝6.故选C.
4．在(1－x)(2x＋1)的展开式中，含x项的系数为( ) A．－5 C．－25
5
5
4
B．－15 D．25
5
4
3
3
5
解析：选B.因为(1－x)＝(－x)＋5x＋C5(－x)＋…，所以在(1－x)·(2x＋1)的展开式中，含x项的系数为5－2C5＝－15.故选B.
5．1＋(1＋x)＋(1＋x)＋…＋(1＋x)的展开式的各项系数之和为( ) A．2n－1 C．2
n＋1
2
4
3
nB．2－1 D．2
nn－1
1×（2－1）n＋1
解析：选C.令x＝1，得1＋2＋2＋…＋2＝＝2－1.
2－1
2
n＋1
n6．(2020·湖南岳阳二模)将多项式a6x＋a5x＋…＋a1x＋a0分解因式得(x－2)(x＋2)，则a5＝( )
A．8 C．12
5
2
655
B．10 D．1
4
4
3
1
1
解析：选A.(x－2)(x＋2)＝(x－4)·(x＋2)，所以(x＋2)的展开式中x的系数为C4·2＝8，所以a5＝8.故选A.
?1?7．(x＋2)?－1?展开式中的常数项是( )
?x?
2
5
A．12 C．8
5
B．－12 D．－8
5－rrrrr－5
(－1)＝(－1)C5x，当r－5
33
55
?1?r?1?解析：选B.?－1?展开式的通项公式为Tr＋1＝C5???x??x?
B.
＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)C5＋2(－1)C5＝－12.故选
?1?8.?x＋＋1?展开式中的常数项为( )
?x?
A．1 C．31
5
B．21 D．51
5
5
1??1??解析：选D.因为?x＋＋1?＝?（x＋1）＋? x??x??
23412?1?3?1?32?1?41?1?＝C(x＋1)＋C(x＋1)·＋C5(x＋1)·??＋C5(x＋1)·??＋C5(x＋1)·??＋C55??0
5
5
15
4
x?x??x??x??x?
5.
?1?055133212
所以?x＋＋1?展开式中的常数项为C5·C5·1＋C5·C4·1＋C5·C3·1＝51.故选D.
?x?
9．已知(2x－1)＝a5x＋a4x＋a3x＋a2x＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝( ) A．1 C．121
B．243 D．122
5
5
4
3
2
5
解析：选B.令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，① 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，② ①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242， 即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244， 即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B.
?1?6
10．(2020·海口调研)若(x－a)?x＋?的展开式中x的系数为30，则a等于( )
?x?
2
10
1A. 3C．1
10
1B． 2D．2
?1??1?k10－kk10－2k解析：选D.由题意得?x＋?的展开式的通项公式是Tk＋1＝C10·x·??＝C10x，
?x??x??x＋1?的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C3，C2，因此由题意
?x?1010??
得C10－aC10＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.
11．若(1＋x＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2nx，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( ) A．2 C．2
n＋1n2n2
2n3
2
k10
3－1
B．
23＋1D．
2
2nnn
解析：选D.设f(x)＝(1＋x＋x)， 则f(1)＝3＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①
nf(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)， 所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝
9
f（1）＋f（－1）3n＋1
2
2
9
＝2
.
2
12．已知(x＋2)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a9x，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)的值为( )
A．3 C．3
9
1192
B．3 D．3
2
9
8
12
10
解析：选D.对(x＋2)＝ a0＋a1x＋a2x＋…＋a9x两边同时求导，得9(x＋2)＝a1＋2a2x＋3a3x＋…＋8a8x＋9a9x，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝3，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝3.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝3，故选D.
13．(xy－yx)的展开式中，xy项的系数为________． 解析：二项展开式的通项是Tk＋1＝C4(xy)
k4－k4
33
12
2
2
2
2
7
8
10
·(－yx)＝(－1)C4x4－y2＋，令4－
22
kkkkk
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