第7节 圆锥曲线的综合问题
【选题明细表】 知识点、方法 直线与圆锥曲线的位置关系 弦长和中点弦问题 定点、定值问题 最值、范围、存在性问题 基础巩固(时间:30分钟)
2
1.设AB为过抛物线y=2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( C )
题号 2,3,4,8 1,5,7 11,12 6,9,10,13 (A) (B)p
(C)2p (D)无法确定
解析:当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短,这时x=,所以y=±p,|AB|min=2p.选C.
2.(2018·兰州一中模拟)已知过抛物线y=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若
=3
,则直线l的斜率为( A )
2
(A) (B) (C)
2
(D)2
解析:设过抛物线y=4x焦点F的直线l:x=ty+1交抛物线于A(x1,y1), B(x2,y2)两点, 因为点A在第一象限且所以y1=-3y2>0, 联立
得y-4ty-4=0,
2
=3,
则解得
即直线l的斜率为.故选A.
22
3.若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( D )
(A)(-,) (B)(0,)
- 1 -
(C)(-解析:由
,0) (D)(-,-1)
得(1-k)x-4kx-10=0.设直线与双曲线右支交于不同的两点
2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),
则
解得- 4.(2018·广西三市第二次调研)过点(2,1)的直线交抛物线y=x于A,B两点(异于坐标原点O),若OA⊥OB,则该直线的方程为( B ) (A)x+y-3=0 (B)2x+y-5=0 (C)2x-y+5=0 (D)x+2y-5=0 解析:观察选项知AB不垂直于x轴, 2 设AB:y-1=k(x-2)与y=x联立化为 2ky-5y+(5-10k)=0, 2 2 所以y1·y2=,y1+y2=, x1=,x2=, 由OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0, 所以(y1y2)+y1y2=0即 2 ()+ 2 =0, 解得k=-2或,当k=时直线过原点,舍去, 所以k=-2,只有选项B满足.选B. 5.(2017·安徽马鞍山三模)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E 于A,B两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( D ) - 2 - (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直 线AB的斜率k==, 两式相减得+=0, 即+=0?+×()×=0,即a=2b,又c=9,a=b+c, 222222 解得a=18,b=9,方程是 22 +=1,故选D. 2 6.(2018·昆明一中模拟)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( A ) (A) (B) (C) (D)1 解析:由题意可得F(,0),设P(,y0),(y0>0), 则=+=+=+(-)=+=(+,),可得 kOM==≤=.当且仅当= 2 时取得等号,选A. 7.(2018·山西省六校第四次联考)已知抛物线C:x=8y,直线l:y=x+2与C交于M,N两点,则|MN|= . 解析: 2 所以(y-2)=8y, 2 所以y-12y+4=0, 所以y1+y2=12,y1y2=4. - 3 - 因为直线l:y=x+2,过抛物线的焦点F(0,2), 所以|MN|=(y1+2)+(y2+2)=y1+y2+4=16. 答案:16 2 8.(2018·大庆一模)已知抛物线C:y=4x,过其焦点F作一条斜率大于0的直线l,l与抛物线交于M,N两点,且|MF|=3|NF|,则直线l的斜率为 . 2 解析:抛物线C:y=4x,焦点F(1,0),准线为x=-1, 分别过M和N作准线的垂线,垂足分别为C和D,作NH⊥CM,垂足为H, 设|NF|=x,则|MF|=3x, 由抛物线的定义可知:|NF|=|DN|=x,|MF|=|CM|=3x, 所以|HM|=2x,由|MN|=4x, 所以∠HMF=60°, 则直线MN的倾斜角为60°, 则直线l的斜率k=tan 60°=答案: . 能力提升(时间:15分钟) 22 9.(2018·云南玉溪模拟)已知点F1,F2是椭圆x+2y=2的两个焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么| + |的最小值是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)2解析:因为O为F1F2的中点, 所以 + =2 ,可得| + |=2||, 当点P到原点的距离最小时,|| + |同时达到最小值. |达到最小值, 因为椭圆x+2y=2化成标准形式,得 2 2 22 +y=1, 2 所以a=2且b=1,可得a=,b=1, 因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离, 即|所以| |最小值为b=1, + |=2| |的最小值为2, 故选C. 22 10.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x-y=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为 . 22 解析:双曲线x-y=1的一条渐近线为直线y=x,显然直线y=x与直线x-y+1=0平行,且两直线之 间的距离为=.因为点P为双曲线x-y=1的右支上一点,所以点P到直线y=x 22 的距离恒大于0,结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于 ,即c≤,可得c的最大 - 4 -
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