云南师大附中2019届高考适应性月考卷（一）数学（理）试题

?的数学期望：19．（本小题满分12分）

E(?)?3?39?77．

（Ⅰ）证明：在长方体ABCD?A1B1C1D1中，

因为M，N分别为A1C，A1D的中点，所以MN为△A1CD的中位线， 所以MN∥CD， 又因为CD⊥平面A1ADD1， 所以MN⊥平面A1ADD1．

（Ⅱ）解：在长方体ABCD?A1B1C1D1中，因为CD⊥平面A1ADD1， 所以?CA1D为A1C与平面A1ADD1所成的角， 即?CA1D=30?，

又因为A1A⊥平面ABCD，

所以?A1CA为A1C与平面ABCD所成的角， 即?A1CA?45?，

所以MN?1，CD?2，A1C?4，A1A=22，AC?22，

如图2，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A?xyz， ∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，22)，A1(0，0，22)，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD中，BD⊥AC，

uuuruuur∴BD是平面A1AC的法向量，BD?(?2，2，0). rnACD设平面1的法向量为?(x，y，z)，

由DC?(2，0，0)，DA1?(0，?2，22)，

??2x?0，???2y?22z?0，所以有? ??x?0，??y?2z，∴?取z=1，

1). 得平面A1CD的一个法向量为n?(0，2，

设二面角A?A1C?D的大小为?，

|cos?|?则

22223?33.

∴

sin??63．

22x0y0?2?12设P(x，y)，代入椭圆的方程有：ab0020．解：（Ⅰ），

b22y??2(x0?a2)a整理得：，

20又

y0k1?x0?a，

y0k2?x0?a，所以

2y01k1k2?2??x0?a22，

b21c2联立两个方程有k1k2??2??，解得：e??a2a2．

22（Ⅱ）由（Ⅰ）知a?2b，又b?1，

x2y2??11所以椭圆C的方程为2.

22(m?2)y?2my?1?0， x?my?1，设直线l的方程为：代入椭圆的方程有：

设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由韦达定理：y1?y2?2m?1，yy?，12m2?2m2?2

所以S△OMN1118m2?82m2?12?|OD||y1?y2|?(y1?y2)?4y1y2??222|m2?2||m2?2|，

2m?1?t(t≥1)，则有m2?t2?1， 令

S△OMN代入上式有

2m2?12t22??2?≤2|m?2||t?1|t?12t，

当且仅当t?1，即m?0时等号成立， 2所以△OMN的面积的最大值为2．

b2x2?x?bf?(x)?2x?1??xx21．（Ⅰ）解：，

?1??1?，??，?????2??上f?(x)≥0恒成立，所以f(x)在?2?上单调递增成立， 当b≥0时，在?2当b?0时，由2x?x?b?0，解得

x??1?1?8b4，

??1?1?8b???1?1?8b?0，，??????????44f(x)????上单调递增， 易知，在上单调递减，在?1?1?8b1≤42，解得b≥?1． 由题意有，综上所述，b≥?1．

?1?，?????上单调递增， （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当b??1时，f(x)在?2n1≥对任意n≥1，有n?12成立，

?n?f??≥所以?n?1?n?n??n?3?1???ln?f?????≥?ln2f(x)?n?1?4?2?，代入有?n?1?n?1，

22n2?n3?n???ln2≥ln??24?n?1?. 整理得：(n?1)x2y2??1322．解：（Ⅰ）曲线C的标准方程为：4， 直线l的一般方程为：3x?y?3?0．

1?x?1?t，?2?(t为参数)，?3?y?t，?l?2（Ⅱ）将直线的参数方程化为标准方程： 6t1?，t2??25代入椭圆方程得：5t?4t?12?0，解得，

211114????所以|PA||PB||t1||t2|3．

?1?2x(x??1)，?f(x)??3(?1≤x≤2)，?2x?1(x?2)，?23．解：（Ⅰ）

函数的图象如图所示．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)的最小值是f(x)min?3，

2所以要使不等式|x?1|?|x?2|≥a?2a恒

成立，

2有3≥a?2a，

1]． 解之得a?[?3，