求证：这个函数图象关于直线y=x成轴对称图形。
分析：（一）要证明f(x)的图象关于y=x对称，需要证明y=f(x)图象上任意一点P关于y=x的对称点P＇仍在
y=f(x)的图象上。因而设P(x0,y0)是y=f(x)上任一点，则y0=对称点的坐标
为P＇(y0,x0),只需验证P＇(y0,x0)也在y=f(x)上。
，而P(x0,y0)关于直线y=x的
∵ f(y0)=
==x0,
∴ (y0,x0)也在y=f(x)的图象上，
∴ y=f(x)=
(x∈R,x≠)图象关于y=x对称。
（二）联想到函数与反函数图象之间的关系，我们只需证明函数的反函数就是它本身即可。从而由
y==()=(1+)
∵ x≠, ∴ ≠0, ∴y≠,
反解x，得x=( y≠
) 即f-1(x)=
(x≠)，
∴ f(x)=f-1(x),又 ∵ y=f(x)与y=f-1(x)图象关于y=x对称，
∴ y=f(x)=
(x≠)的图象关于直线y=x成轴对称图形。
注意：函数与反函数的图象对称是两个函数关于y=x的对称问题，而本题是要证明函数图象自身关于y=x对称。
例9．已知f(x)当x∈R时恒满足f(2+x)=f(2-x)，若方程f(x)=0恰有5个不同的实数根，求各根之和。
分析：由f(2+x)=f(2-x)，则y=f(x)图象关于x=2对称，从而f(x)=0的解若≠2则应成对出现。由题意，作出草图如右，
∴
∴ x1+x2+x3+x4+x5=10.
例10．已知x1是方程x+lgx=3的解，x2是方程x+10x=3的解，则x1+x2=_______.
分析：方程化为lgx=3-x, 10x=3-x,
∴ x1为y=lgx与y=3-x交点横坐标，x2为y=10x与y=3-x交点横坐标，
∵ y=lgx与y=10x互为反函数，其图象关于y=x对称，而y=x与y=3-x垂直，从而，如图中A、B关于y=x对称，AB中点为M，
联立， 可求M(,),
由中点坐标公式
， ∴x1+x2=3.
例11．若f(x)=|lgx|,当a
分析：作出y=|lgx|的图象，可知其单调性， 若1 若0 例12．已知函数f(x)= . 1)判断f(x)是否存在反函数，若存在，求出f-1(x)。 2)f-1(x)的图象是否过(0,1)点，是否与y=x有交点？ 3)求f-1(x)≤f-1(0)的补集。 分析：1）判断函数是否有反函数标准有①是单调函数 ②确定函数的映射是一一映射。 y1=单增，y2=-单增。 ∴ y=在(0,+∞)上单增，从而它有反函数， 运用极根思想，当x趋于0，趋于0，-趋于-∞， ∴y→-∞，当x→+∞时， ∴ 函数值域(-∞,+∞)且( →+∞, -)2-y →0, ∴y→+∞。 -1=0. ∵ 或=|y|≥y, ， ∴ y+>0,y-<0, ∴, 从而 f-1(x)=( )2 (x∈R). 2)显然f-1(x)过(0,1)点，从而f(x)过(1,0)点，而要判断y=f-1(x)与y=x有无交点，只要判断y=f(x)与y=x有无交点。作y=f(x)示意图如右： 0 x>1时，f(x)==x. 综上，x>0时，f(x) 3) ∵ f-1(x)≤f-1(0)即 ∴ y=f-1(x)在R上单增， ∵ f-1(x)≤f-1(0), ∴x≤0. ≤1，解得x≤0. 从另一角度看，y=f(x)与y=f-1(x)具有相同的单调性，∵ y=f(x)在(0,+∞)单增，
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