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微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）
一、基本导数公式
???1c???0sinx???cosx??x??x⑴ ⑵ ⑶
cosx????sinxtanx???sec2xcotx????csc2x???⑷ ⑸ ⑹ secx???secx?tanxcscx????cscx?cotx??⑺ ⑻
⑼
?e???exx ⑽
?a???axlnax ⑾
?lnx???1x
⑿
?log?xa??111arccosx?????arcsinx????1?x2 ⒁1?x2 xlna ⒀
1???1arccotx?arctanx?????1?x2 ⒃1?x2⒄⒂
二、导数的四则运算法则
?x???1⒅
?x??2?1x
?u??u?v?uv????u?v???u??v? ?uv???u?v?uv? ?vv2 ??三、高阶导数的运算法则
?u?x??v?x???（1）?（3）??n??u?x?n?n??v?x??n??cu?x??? （2）???u?x??v?x????n??n??cu?nn??x? ?x?v(k)?x?
?u?ax?b????n??n??au?n??ax?b? （4）
ax?bk???cnuk?0n?k?四、基本初等函数的n阶导数公式
?x?（1）
n?n!?e? （2）
?n??an?eax?b?a? (3)
x?n??axlnna
(4)
??sin?ax?b????n??n???????n?ansin?ax?b?n??cosax?b?acosax?b?n????????2?(5) ?2? ??n(6)
五、微分公式与微分运算法则
?1????ax?b??n????1?an?n!?ax?b?n?1??ln?ax?b??? (7)
?n????1?n?1an??n?1?!?ax?b?n
.*
⑴⑷⑺
d?c??0 ⑵
d?x????x??1dx ⑶
⑹
d?sinx??cosxdx
d?cosx???sinxdx ⑸
d?tanx??sec2xdxd?cotx???csc2xdx
d?secx??secx?tanxdxd?exx ⑻
xxd?cscx???cscx?cotxdxd?lnx??1dxx
⑼
??edx ⑽d?a??axlnadx ⑾
111darcsinx?dxdarccosx??dx????d?loga??dx221?x1?xxlna ⒀⑿ ⒁
⒂
d?arctanx??11dxdarccotx??dx??221?x1?x ⒃
六、微分运算法则 ⑴
d?u?v??du?dv ⑵
d?cu??cdu
?u?vdu?udvd???2d?uv??vdu?udvvv??⑶ ⑷
七、基本积分公式
x??1dxxdx??c?lnx?c?kdx?kx?c???1?⑴ ⑵ ⑶x
?axxxadx??cedx?e?ccosxdx?sinx?c?lna⑷ ⑸? ⑹?
x1dx??sec2xdx?tanx?c2sinxdx??cosx?c?⑺? ⑻cosx 112?cscxdx??cotx?cdx?arctanx?c22???⑼sinx ⑽1?x
⑾
?11?x2dx?arcsinx?c
八、补充积分公式
?tanxdx??lncosx?c ?cotxdx?lnsinx?c ?secxdx?lnsecx?tanx?c ?cscxdx?lncscx?cotx?c
11xdx?arctan?c?a2?x2aa
11x?adx?ln?c?x2?a22ax?a
.*
?1a2?x2dx?arcsinx?ca
?1x2?a2dx?lnx?x2?a2?c
换元公式 九、下列常用凑微分公式 积分型 ??f?ax?b?dx?f?x??x??1dx?1f?ax?b?d?ax?b??a f?x??d?x????1 u?ax?b u?x? ?1f?lnx??dx??f?lnx?d?lnx?x xxxxu?lnx u?ex u?ax ?f?e??edx??f?e?d?e? ?f?ax??axdx?1f?ax?d?ax??lna ?f?sinx??cosxdx??f?sinx?d?sinx? ?f?cosx??sinxdx???f?cosx?d?cosx? u?sinx u?cosx ????f?tanx??sec2xdx??f?tanx?d?tanx?f?cotx??csc2xdx??f?cotx?d?cotx?f?arctanx??f?arcsinx??u?tanx u?cotx 1dx?farctanxdarctanx?????1?x2 u?arctanx 11?x2dx??f?arcsinx?d?arcsinx?u?arcsinx 十、分部积分法公式
xe⑴形如?形如形如
naxdxnaxu?xdv?edx ，令，
nx?sinxdxnx?cosxdxn令u?x，dv?sinxdx 令u?x，dv?cosxdx
nn
x⑵形如?形如
arctanxdxndv?xdx u?arctanx，令，
nnx?lnxdx，令u?lnx，dv?xdx
，
axe?cosxdxaxu?e,sinx,cosx均可。 令
⑶形如
axe?sinxdx十一、第二换元积分法中的三角换元公式
.*
(1)a?x x?asint (2) 【特殊角的三角函数值】
22a2?x2 x?atant (3)x2?a2 x?asect
（1）sin0?0 （2）
sin?6??31?sin?sin?132 （4）2 （3）2 （5）sin??0
3?1?cos?cos?02（3）32 （4）2 （5）cos???1 3??tan?3tan3（3）32不存在（5）tan??0 （4）
cot（3）
（1）cos0?1 （2）
cos?6?（1）tan0?0 （2）
tan?6?（1）cot0不存在 （2）十二、重要公式
cot?6?3?3?3?cot?03（4）2（5）cot?不存在
1sinxn?1x?elima(a?o)?1lim1?x??x?0n??x?0x（1） （2） （3）
lim（4）n??limn?1n （5）x??limarctanx??2 （6）x???limarctanx???2
（7）x??limarccotx?0limex?? （8）x???limarccotx??limxx?1?
（9）x???limex?0
（10）x??? （11）x?0?a0?b0a0xn?a1xn?1?L?an??lim??0x??bxm?bxm?1?L?b01m?????（12）
n?mn?mn?m （系数不为0的情况）
十三、下列常用等价无穷小关系（x?0）
sinx:x tanx:x arcsinx:x arctanx:x
e?1:x a?1:十四、三角函数公式 1.两角和公式
1?cosx:
12x2
ln?1?x?:xxxxlna ?1?x???1:?xsin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB
.*
tanA?tanBtanA?tanBtan(A?B)?1?tanAtanB 1?tanAtanB cotA?cotB?1cotA?cotB?1cot(A?B)?cot(A?B)?cotB?cotA cotB?cotA tan(A?B)?2.二倍角公式
sin2A?2sinAcosA cos2A?cos2A?sin2A?1?2sin2A?2cos2A?1 tan2A?2tanA1?tan2A
3.半角公式
sinA1?cosAA1?cosA?cos?2222 A1?cosAsinAA1?cosAsinA??cot??21?cosA1?cosA 21?cosA1?cosA
tan4.和差化积公式
sina?sinb?2sina?ba?ba?ba?b?cossina?sinb?2cos?sin22 22 a?ba?ba?ba?bcosa?cosb?2cos?coscosa?cosb??2sin?sin22 22
tana?tanb?sin?a?b?cosa?cosb
5.积化和差公式
11sinasinb???cosa?b?cosa?bcosacosb?????????cos?a?b??cos?a?b???2?2
11sinacosb??sina?b?sina?bcosasinb?????????sin?a?b??sin?a?b???2?2
6.万能公式
a1?tan22sina?cosa?a1?tan21?tan22
2tan7.平方关系
aa2tan22tana?aa1?tan22 2
sin2x?cos2x?1 sec2x?tan2x?1 csc2x?cot2x?1
8.倒数关系
tanx?cotx?1 secx?cosx?1 cscx?sinx?1
9.商数关系
tanx?sinxcosxcotx?cosx sinx
十五、几种常见的微分方程
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