太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率．
【分析】（1）判断小华和小丽在各自班级的名次即可得出答案； （2）分别得出甲乙两班的众数、中位数和平均数，再判断大小即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【解答】解：（1）小华在甲班是第11名，不能录用；小丽在乙班是第10名，可以录用；
（2）从众数来看，甲乙两班各被录用的10名志愿者的众数分别为8分、10分，说明甲班被录用的10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多；
从中位数来看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分、8.5分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数；
从平均数看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为8.9分、8.7分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数． （3）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的有2种结果， 所以抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率为19．（8分）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
16
＝．
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1＝30x+200，方式二的费用为：y2＝40x；
（2）由y1＜y2得：30x+200＜40x， 解得x＞20时，
当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．
20．（9分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 成员 测量工具 测量示意图
测量旗杆的高度
组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx 测量角度的仪器，皮尺等
说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B
之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH
上．
测量数据
测量项目 ∠GCE的度数 ∠GDE的度数 A，B之间的距离
…
… 第一次 25.6° 31.2° 5.4m
第二次 25.8° 30.8° 5.6m
平均值 25.7° 31°
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 5.5 m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
17
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【分析】任务一：根据矩形的性质得到EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5； 任务二：设EC＝xm，解直角三角形即可得到结论；
任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）． 【解答】解：任务一：由题意可得，四边形ACDB，四边形ADEH是矩形， ∴EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5， 故答案为：5.5； 任务二：设EC＝xm，
在Rt△DEG中，∠DEC＝90°，∠GDE＝31°， ∵tan31°＝∴DE＝
， ，
在Rt△CEG中，∠CEG＝90°，∠GCE＝25.7°， ∵tan25.7°＝
，CE＝
，
∵CD＝CE﹣DE， ∴
∴x＝13.2，
∴GH＝CE+EH＝13.2+1.5＝14.7， 答：旗杆GH的高度为14.7米；
任务三：没有太阳光，或旗杆底部不可能达到． 21．（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德?欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．
﹣
＝5.5，
18
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr． 下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN． ∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）． ∴△MDI∽△ANI．∴
＝
，∴IA?ID＝IM?IN，①
如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF． ∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°． ∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°， ∴∠DBE＝∠IFA．
∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等）， ∴△AIF∽△EDB， ∴
＝
．
∴IA?BD＝DE?IF②
任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝ R﹣d （用含R，d的代数式表示）； （2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm．
【分析】（1）直接观察可得；
（2）BD＝ID，只要证明∠BID＝∠DBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证； （3）应用（1）（2）结论即可；
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（4）直接代入计算．
【解答】解：（1）∵O、I、N三点共线， ∴OI+IN＝ON ∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d 故答案为：R﹣d； （2）BD＝ID 理由如下：
如图3，过点I作⊙O直径MN，连接AI交⊙O于D，连接MD，BI，BD，
∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI
∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI ∴∠BID＝∠DBI ∴BD＝ID
（3）由（2）知：BD＝ID ∴IA?ID＝DE?IF ∵DE?IF＝IM?IN
∴2R?r＝（R+d）（R﹣d） ∴R2﹣d2＝2Rr ∴d2＝R2﹣2Rr
（4）由（3）知：d2＝R2﹣2Rr；将R＝5，r＝2代入得： d2＝52﹣2×5×2＝5， ∵d＞0 ∴d＝
．
故答案为：
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