第23讲 几何定值
知识纵横
几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。
解几何定值问题的基本方法是：
分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。
例题求解
【例1】 （1）如图1，圆内接?ABC中，AB?BC?CA，OD,OE为圆O的半径，
OD?BC于点F，OE?AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是?ABC的面积的1. 3（2）如图2，若?DOE保持120?角度不变，求证：?DOE绕着O点旋转时，由两条半径和?ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是?ABC的面积的1． 3 （广东省中考题）
思路点拨 对于（1），连OA、OC，则要证明S?OAC?，类比（1）的证明方法证明。 ?OAG??OCF；对于（2）
1S?ABC，只需证明3【例2】如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B,C为切点． （1）求证：AB?AC；
（2）过点A的直线分别交⊙O1和⊙O2于点D,E，且DE是连心线时，直线DB与直线EC交于点F．请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE绕点A旋转（DE不与点A,B,C重合），请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．
（沈阳市中考题）
思路点拨 按题意画出图形，充分运用角的知识证明若?DFE?90?，则DF?EF这一位置关系不变。
【例3】如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，?SPM是一定角．
（第18届加拿大数学竞赛题）
思路点拨 不管ST滑到什么位置，弧ST及?SOT的度数都是定制，从探寻?SPM与
?SOT的关系入手。
【例4】如图，扇形OAB的半径OA?3，圆心角?AOB?90?，点C是弧AB上异于A,B的动点，过点C作CD?OA于点D，作CE?OB于点E，连接DE，点G,H在线段DE上，且DG?GH?HE.
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在弧AB上运动时，在CD,CG,DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度； （3）求证：CD?3CH是定值．
（广州市中考题）
思路点拨 对于（3），设法把CH用CD的代数式表示，通过计算的方式确定定值。而随着辅助线添加的不同，为探索不同的解题思路提供了可能，而解题的关键是对等分点条件的运用。
22【例5】 如图，已知等边?ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与
AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选
择无关．
（湖北省竞赛题）
思路点拨 即要证AK?BN是一个定值，在图形中?ABC的边长是一个定值，说明
AK?BN与AB有关，从图知AB为?ABM与?ANB的公共边，作一个大胆的猜想，
AK?BN?AB2，从而我们的证明目标更加明确．
以退为进
【例6】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A,B两点，交y轴于C,D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为
??2,0?,AE?8．
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG,BC，求证：MG∥BC； （3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时， 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
（深圳市中考题）
OFPF学力训练
基础夯实
1. 阅读下列材料，然后解答问题．
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．
如图，已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S1，正四边形ABCD的面积为S2，以圆心O为顶点作?MON，使?MON?90?，将?MON绕点O旋转，
OM,ON分别与⊙O相交于点E,F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G,H．设
由OE,OF,弧EF及正四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S. （1）当OM经过点A时（如图①），则S,S1,S2之间的关系为：S? （用含
S1、S2的代数式表示）；
（2）当OM?AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；
（3）当?MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．
（邵阳市中考题）
2. 如图，在等腰三角形?ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB,AC相
切，切点分别为D,E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB,AC于M,N．求证：BM?CN为定值。
3． 如图，已知等边三角形ABC的周长为a，P为其内任一点，
PD?AB于D，PE?BC于E，PF?AC于F。
求证：（1）PD?PE?PF为定值；
（2）AD?BE?CF为定值。
（三明市中考题）
4. 已知半径为R的⊙O'经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O'交于E,F两点． （1）如图1，连接OO'交⊙O于点C，并延长交⊙O'于点D，过点C作⊙O的切线交⊙
O′于A,B两点，求OA?OB的值；
（2）若点C为⊙O上一动点．
①当点C运动到⊙O'内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O′，于A,B两点，则OA?OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；
②当点C运动到⊙O'外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O于A,B两点，如图3，则
OA?OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．
（济南市中考题）
能力拓展
5. 如图，内接于圆O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设圆O的半径为R，求证：
（1）AK?BK?CK?DK是定值； （2）AB?BC?CD?DA是定值。
D22222222OKABC
6. 如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点，求证：值。
PA?PC为定PB
7. 如图，已知?ABC为直角三角形，?ACB?90?,AC?BC，点A,C在x轴上，点B坐标为?3,m??m?0?，线段AB与y轴相交于点D，以P?1,0?为顶点的抛物线过点B,D． （1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC?AC?EC?为定值．
（湘潭市中考题）
8. 如图所示，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标分别为?6,0?,?0,2?，点D是线段BC上的动点（与端点B,C不重合），过点D作直线y??1x?b交折线OAB于点E． 2（1）记?ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
（广州市中考题）
综合创新
9. 如图1所示，以点M??1,0?为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A,B,C,D，直线
y??353x?与⊙M相切于点H，交y轴于点E，交y轴于点F． 33（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；
（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH?3:2，求cos?QHC的值； （3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E,C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN?MK?a？如果存在，请求出
a的值；如果不存在，请说明理由．
（深圳市中考题）
10. 小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y?ax?a?0?的
2性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A,B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA?OB?2 （如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF?x轴于点F，测得OF?1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A,B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
（2011年株洲市中考题）
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