第十七章 排列组合与二项式定理
17．1 乘法原理和加法原理 基础练习
1．5个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报一所且只能报一所院校，则共有__________种不同的报名方法．
解：每位学生可以有3种报考重点院校的方式，由乘法原理可得：35?243． 2．在所有三位数中，有且只有两个数字相同的三位数有__________个． 解：（1）百位和十位一样，有9?9?81种， （2）百位和个位一样，有9?9?81种，
（3）十位和个位一样，有9?9?9?81种，一共243种．
3．由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位奇数的个数是__________． 解：首先末尾必须排奇数，其次最高位不排0，则3?4?4?3?2?l?288．
4．从0到8这9个数字中选4个数字组成没有重复数字的四位数，按下列要求分别求符合条件的个数． ①四位数中奇数的个数．②四位数中偶数的个数．③四位数中能被25整除的个数．④四位数中大于4500的个数．⑤四位数中小于3570的个数． 解：①4?7?7?6?11．②按首位是否为零分类，8?7?6?4?7?7?6?1512．③6?6?2?7?6?．④14?8?7?6?4?7?6?1512．⑤2?8?7?6?4?7?6?5?6?870．
5．从2，3，5，7这四个数字中，任取两个分别作为分数的分子和分母．有几个是真分数?几个是假分数? 解：（1）按照分母可以取7，5，3分类，则3?2?1?6． （2）按照分母可以取2，3，5分类，3?2?1?6．
x2y26．已知m???2，?1，0，1，2，30，1，2?，且方程??1是表示中心在原?，n???3，?2，?1，mn点的双曲线，则表示不同的双曲线最多有多少条?
解：mn?0，则分m?0，n?0和m?0，n?0，则2?2?3?3?13． 能力提高
7．在一张平面上画了2 007条互不重合的直线l1，l2，…，l2007始终遵循垂直、平行交替的规则进行：l1?l2,l2∥l3,l3?l4，…．这2007条互不重合的直线的交点共有多少个?
解：1003?1004?1007012．
8．4个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有多少种?
解：由于先让一人甲去拿一种有3种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法，剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去． 这样两人只有一种拿法，3?3?1?9，故答案为9．
9．一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同排课方法?
解：数学课排第一节，班会课排在下午，然后再排体育，则2?4?3?2?1?48， 数学课不排第一节，先排数学，再排班会，再排体育课，则3?2?3?3?2?1?108， 则有156种不同排课方法．
10．如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1?a2且a3?a2，则称这样的三位数为凸数，求这样的凸数的个数．
解：对a2进行分类讨论，
由题意，当中间数是2时，首位可取1，个位可取0，1，故总的种数有2?1?2， 当中间数为3时，首位可取1，2，个位可取0，1，2，故总的种数共有6?2?3， …，
当中间数为9时，首位可取1，2，…，8，个位可取0，1，2，…，8，故总的种数共有72?8?9， 故所有凸数个数为1?2?2?3?3?4??8?9?2?6?12?20?30?42?56?72?240，故答案为：240． 17．2 排列 基础练习
r1．解方程：①3Px3?2Px2?1?6Px2．②P13?17160．
解：①将排列写为分数形式，则3x?x?1??x?2??2?x?1?x?6x?x?1??x?5，②x?4． 2．10个人站成一排，要求甲，乙之间必须站4个人，则共有多少种不同的站法?
解：甲，乙之间选4个人，然后把这6个人视为一个整体，则P22?P84?P55?5?2?P88?403200． 3．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目．3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，可排出多少种不同的节目单?
解：3个舞蹈节目无先后顺序，则一共P88种，
P883个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，则有86720种．
P84．一铁路线上原有”个车站．为适应客运需要，新增加了m个车站?m?1?，客运车票因此增加了62种．问现有多少个车站?（来回的车票不同）
62?m?2，n?15，则m?n?17． m5．4位男生和4位女生围成一个圆圈，如果男女相问表演舞蹈，有多少种排法? 解：3!?4!?144．
6．6颗不同珍珠与6颗不同的玛瑙相隔串成一串项链，有多少种不同的串法? 解：Pn2?m?Pn2?62?2n?1?m?1解：?5!?6!?43200 （项链可以翻转）．
27．有8个队比赛，采取淘汰制，在赛前抽签时，实际上可得到多少种不同的安排法?
8!?3?315． 42?4!能力提高
8．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，求不同的选派方案数． 解：由题意知本题需要分类， 解：
13若小张或小赵入选，则有选法C12C2P3?24；
若小张、小赵都人选，则有选法P22P33?12， 根据分类计数原理知共有选法36种．
故答案为：36．
9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，求不同站法的总数．
解：由题意知本题需要分组解决，
由于对于7个台阶上每一个只站一人有P73种；
2若有一个台阶有2人，另一个是1人共有C13P7种，
则根据分类计数原理知共有不同的站法种数是336种． 故答案为：336．
10．在9?9的黑白相间的棋盘上，有多少种方法将8只互不攻击的车放在同色的格子里?（称放在棋盘的同一行或同一列的2只车是互相攻击的）
解：先考虑8只互不攻击的车放在黑色格里的方法种数，再考虑放在白色格里的方法种数．注意到，放在奇数行的黑格的车与放在偶数行的黑格的车不能互相攻击；同理：放在奇数行的白格的车与放在偶数行的白格的车不能互相攻击． （1）将原棋盘中奇数行的黑格拼成一个5?5的棋盘，有5!种方法放置5只互不攻击的车在此棋盘里．将原棋盘中偶数行的黑格拼成一个4?4的棋盘，有4!种方法放置4只互不攻击的车在此棋盘里．
从而，共有5!?4!种方法将9只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．再从9只车中拿走任意一只车满足条件且其中没有重复，于是共有9?5!?4!种方法将8只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．
（2）将原棋盘中奇数行的白格，偶数行的白格分别拼成一个5?4的棋盘，有5!种方法放置4只互不攻击的车在各自棋盘里，于是，共有?5?4?3?2???5!?种方法将8只互不攻击的车放在棋盘的白格里． 于是一共有9?5!?4!??5!??40320种方法．
17．3 组合 基础练习
1．圆上有8个点，任意两点可连成弦，两弦交点在圆内的有__________个．
解：两弦的交点就是两弦的四个顶点构成的四边形的对角线的交点．于是两弦的交点数就是四边形的
4个数．于是，两弦交点在圆内的有C8?70．
2222．以正方体的顶点为顶点的四面体个数是__________个．
4解：正方体的八个顶点构成12个矩形，于是C8?12?58．
3．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法?
7解：由挡板法可得，C9?36．
4．100件产品中有4件次品，现抽取3件检查， （1）恰好有一件次品的取法有__________种． （2）既有正品又有次品的取法有__________种．
2221解：（1）C1（2）C14C96?18240．4C96?C4C96?18816．
5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__________种．
444C8C4?34650． 解：C126．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有多少种不同的取法?
2112解：4只鞋配成一双或配成两双，则C15C4C2C2?C5?130．
7．如图17-2，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组
?P，P，P，P??1?i?j?k≤10?有多少个？
1ijkP1P2P7P5P6图 17-2P3P4P10P9P8
解：C35?3?33个．
0r1r?12r?28．m，n，r?N?，试证明：Crn?m?CnCm?CnCm?CnCm?r0?CnCm．
解：构造数学模型证明．全班有n?m个人，从中选出r个人当志愿者。原式等价于先把全班人分成两
组，A组人数为n，B组人数为m．然后从A，B组中共选出r人．
9．将两个a和两个b共4个字母填在4?4的小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使用相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种?
22212解：?C24P4??C4P4?C16P9?3960．
210．平面上给定5个点，已知连接这些点的直线互不平行，互不垂直，也不重合．过每个点向其余四点的连线作垂线，这些垂线的交点最多能有多少个（不计已知的5个点）?
2解：垂线共有6?5?30条，交点共有C30?435个，由于同一点所作垂线无交点，且同一直线的垂线无
交点．共扣除?15?10??5?125个点．则实际有435?125?310个．
17．4 其他几种排列组合 基础练习
1．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则共可发出的不同信号有多少种? 解：每个窗有3种亮灯方式，由乘法原理可知：一共35?243种方式．
2．组成mathematician的13个字母，可以组成多少个不同的13字母的单词？
13!个不同的单词．
2!?2!?2!?3!3．晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目，要求每两个舞蹈节目之间至少有两个演唱节目．则有多少种不同的节目顺序表?
解：mathematician中有2个m，2个t，2个i，3个a，于是共有
4解：4!·9!·C7．
4．求x1?x2?x3?x4≤13的正整数解的组数．
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