R?E?X(t)XH(t)??APAH??2I （4-3）
P?E?S(t)SH(t)? （4-4）
式中：?2———噪声的方差。
对式（4-3）的相关矩阵R作特征分解，其各特征值及其相对应的特征向量分别为：
λ1≥λ2≥…≥λ
Ｄ
≥λ
Ｄ+1
≥…≥λ
Ｍ
（4-5）
ｖ1ｖ2…ｖＤｖＤ+1…ｖＭ （4-6）
据式式（4-3），可得以下结论：
（1）R的最小特征值等于?2，重数为(MD)，即λ
Ｄ+1
=…=λ
Ｍ
=?2。据此，
空间信号源的个数D可由下式得出：D=M-（R最小特征值的重数）。最小重数为1，因此，M阵元可测向的信号源数目的最大值为Dmax?M?1。
（2）各特征向量相互正交。这些向量为矩阵Ｒ列空间的基，由于最小特征值为噪声的贡献，因此与最小特征值对应的那些特征向量所张成的子空间也是噪声的贡献，称之噪声子空间，记为?N。这样Ｒ的列空间被划分成两个子空间,即信号子空间?S和噪声子空间?N：
?N?span?vD?1,,vM? （4-7） ?S?span?v1,,vD? （4-8）
由于各特征向量相互正交，故有：?S??N。在信号源所在方向上，诸方向向量a(?k),k?1,,D，均处于信号子空间?S中，故a(?k)??N。构造矩阵：
EN?[vD?1,,vM] （4-9）
显然有EN?a(?k)?0,k?1,,D
music算法就是根据式（4-9）来求空间谱PMU(?)，有
PMU(?)?1Ea(?)HN22 （4-10）
谱峰所对应θ值就是信号源方向的估值。 维纳滤波算法原理：
维纳(Wiener)是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。一个线性系统，
如果它的单位样本响应为h(n)，当输入一个随机信号x(n)，且：
x(n)?s(n)?v(n) （4-1）
其中：x(n)表示信号，v(n)表示噪声，则输出y(n)为：
y(n)??h(n)x(n?m) （4-2）
m我们希望x(n)通过线性系统h(n)后得到的y(n)尽量接近于s(n)，因此称y(n)为s(n)的估计值，用s(n)表示，即：
y(n)?s(n) （4-3）
则维纳滤波器的输入—输出关系可用下面图1表示。
图4-1 维纳滤波器的输入—输出关系
实际上，式（4-2）所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值
x(n),x(n?1),,x(n?m)，来估计信号的当前值s(n)。因此，用h(n)进行过滤问题
实际上是一种统计估计问题。
一般地，从当前的和过去的观察值x(n),x(n?1),,x(n?m)，估计当前的信号值y(n)?s(n)成为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或者将来的信号值
y(n)?s(n?N)(N?0)称为外推或预测；从过去的观察值，估计过去的信号值y(n)?s(n?N)(N?0)称为平滑或内插。因此维纳滤波器又常常被称为最佳线性过
滤与预测或线性最优估计。这里所谓的最佳与最优是以最小均方误差为准。
如果我们分别以s(n)与s(n)表示信号的真实值与估计值，而用e(n)表示他们之间的误差，即：
e(n)?s(n)?s(n) （4-4）
显然e(n)可能是正值，也可能是负值，并且它是一个随机变量。因此，用它的均方误差来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计期望最小。
卡尔曼滤波算法原理：
卡尔曼滤波是基于状态空间方法的一套递推滤波算法，在状态空间方法中，引入了状态变量的概念。卡尔曼滤波的模型包括状态空间模型和观测模型。状态
模型是反映状态变化规律的模型，通过状态方程来描写相邻时刻的状态转移变化规律；观测模型反映了实际观测量与状态变量之间的关系。Kalman滤波问题就是联合观测信息及状态转移规律来得到系统状态的最优估计。
假设动态系统的状态空间模型为
X(t?1)??X(t)??W(t) （4-1） Y(t)?HX(t)?V(t) （4-2）
其中，X(t)为系统在时刻t的状态；Y(t)为对状态的观测值；W(t)为系统噪声，方差阵为Q；V(t)为观测噪声，方差阵为R；?为状态转移矩阵；H为观测矩阵；
?为系统噪声驱动矩阵。
卡尔曼滤波的计算流程为： 计算状态估计值：
?(t?1|t?1)?X?(t?1|t)?K(t?1)?(t?1) （4-3） X计算状态一步预测：
?(t?1|t)??X?(t|t) （4-4） X计算新息：
?(t?1|t) （4-5） ?(t?1)?Y(t?1)?HX计算卡尔曼滤波增益：
K(t?1)?P(t?1|t)HT[HP(t?1|t)HT?R]?1 （4-6）
计算一步预测均方误差：
P(t?1|t)??P(t|t)?T??Q?T （4-7）
计算一步预测估计均方误差：
P(t?1|t?1)?[In?K(t?1)H]P(t?1|t) （4-8）
下面给出卡尔曼滤波的系统模型框图：
Matlab图形：
图1 原始型号时域波形图
图2 music方法对信号进行谱估计
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