2017 年上半年中小学教师资格证考试
数学学科知识与教学能力试题（高中数学）
注意事项：
1. 考试时间为 120 分钟，满分为 150 分。
2. 请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题列出
的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。
1. 若lim f ( x) ? k ? 0 ，则下列表述正确的是（
x?a
）。
A． ?r ? (0, k ), ??? 0, ?x ? (a ??, a ??) ，且 x ? a ，有 f ( x) ? r
B． ?r ? (0, k ), ??? 0, ?x ? (a ??, a ??) ，且 x ? a ，有 f ( x) ? r
C． ?r ? (0, k ), ??? 0, ?x ? (a ??, a ??) ，有 f ( x) ? r
D． ?r ? (0, k ), ??? 0, ?x ? (a ??, a ??) ，有 f ( x) ? r
2. 下列矩阵所对应的线性变换为旋转变换的是（ ）。
?
?1 A. ? ?0 1????1???1 B. ? ?1 0????1??
? 1 1?
??C. ?
?? 1 1??
3.
? 0 1??
??D. ?
?? 1 0??
）。
2 2 2
??2x? y? z? 16
母线平行于 x 轴且通过曲线 ?2 2 2 的柱面方程是（
??x?? y? z? 02 2 A．椭圆柱面3x2 ? 2 z 2 ? 16
B．椭圆柱面 x? 2 y? 16 D．双曲柱面 y? 2z? 16
2
2
C．双曲柱面3y? z? 16
2 2
4. 若 f (x) 是连续函数，则下列命题不正确的是（
）。
A. f (x) 存在唯一的原函数?x
a
f (t)dt
B. f (x) 有无穷多个原函数
C. f (x) 的原函数可以表示为?x
a
f (t)dt ? r （ r 为任意实数）
D. ?x
a
f (t)dt 是 f (x) 的一个原函数
5. 设 A 和 B 为任意两个事件，且 A ? B ， P(B) ? 0 则下列选项中正确的是（
A． P(B) ? P( AB)
B． P( A) ? P( A B)
C． P(B) ? P( AB)
D． P( A) ? P( A B)
? 1 0 2??
6. 设 A ? ?? 0 3 0 ? ，下列向量中为矩阵 A 的特征向量的是（
）。
? ? ?? 2 0 1 ???
?A． (1, 2, 0)
T
B． (2, 0,1)
T
C． (?1, 0,1)
T
D． (0, 0,1)
T
7. 与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》（I—VI 卷）的我国数学家是（ A. 徐光启 B．刘徽 C．祖冲之
D．杨辉
8. “有一个角是直角的平行四边形是矩形”，这个定义方式属于（
）。 A. 公理定义 B．属加种差定义 C．递归定义
D．外延定义
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9. 已知椭球面方程 2x
2
? y2 ? 3z2 ? 6 。
（1） 求椭球面上点 M (1,1,1) 处的切平面方程；（4 分）
。
）。）
（2） 当 k 为何值时，所求切平面与平面5x ? ky ? 4 z ? 0 相互垂直。（3 分）
10．已知向量组α1 ? ?2，1，-2?，α2 ? ?1，1，0?，α3 ? ?t，2，2? 线性相关。
（1） 求t 的值；（3 分）
（2） 求出该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。（4 分）
11. 有甲、乙两种品牌的某种饮料，其颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放在外观相同的
6 个杯子中，每种品牌各 3 杯，作为试验样品。
（1） 从 6 杯样品饮料中随机选取 3 杯作为一次试验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功。
独立进行 5 次试验，求 3 次成功的概率；（5 分）
（2） 某人声称他通过品尝饮料能够区分这两种品牌。现请他品尝试验样品中的 6 杯饮料进行品 牌区分，作为一次试验，若区分完全正确，视为试验成功。他经过 5 次试验，有 3 次成功，可否由此推断此人具有品尝区分能力？说明理由。（2 分）
12. 《普通高中数学课程标准（实验）》用行为动词“了解”“理解”“掌握”“应用”等描述结果
目标，请解释“了解函数奇偶性”的具体含义。
13. 书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“数列”一章为例，说明设计数学 书面测验试卷应关注的主要问题。
三、解答题（本大题 1 小题，10 分）
14. 已知 f (x) 在
x a
?a，b?上的连续函数，设 F (x) ? ??f (t)dt ， x ??a，b?，证明：
（1） F (x) 在?a，b?上连续；（5 分）
（2） F (x) 在?a，b?上可导，且 F '(x) ? f (x) 。（5 分）
四、论述题（本大题 1 小题，15 分）
15. 推理一般包括合情推理与演绎推理。
（1） 请分别阐述合情推理与演绎推理的含义；（6 分）
（2） 举例说明合情推理与演绎推理在解决数学问题中的作用（6 分），并阐述二者间的关系。（3
分）
五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分）阅读案例，并回答问题。
16. 案例：
在学习《平面向量》后，某数学教师安排了如下一道选择题：
? ? ??若非零向量 a, b ，满足 a ? b ? b ，则（ ? ? ??A. 2b ? a ? 2b ? ? ??C. 2a ? 2a ? b
）。
? ? ??B. 2b ? a ? 2b
? ? ??D. 2a ? 2a ? b 教师要求学生写出他们详细的解题过程，三位学生分别给出了如下的解法：
? ? ??学生 1： 因为 a ? b ? b ， 所以 a ? b ? b 或 a ? b ? ?b ， 故 a ? 2b 或 a ? 0 （ 舍去）， 所以 ? ? ? ? ? ??a ? 2b ? 0 。由于b 是非零向量，所以 2b >0，故 2b ? a ? 2b ，选 A。
? ? ??学生2：因为 a ? b ? b ，所以(a ? b)(a ? b) ? b ? b, a ? a ? 2a ? b ? b ? b ? b ? b ，所以 a ? a ? 2a ? b ，
? ? ? ? ? ??所以 a = 2b ，故 a ? 2b ? 0 。由于b 是非零向量，所以 2b >0，故 2b ? a ? 2b ，选 A。 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ??
学生 3 ： 因为 a ? b ? b ， 所以 ??， 所以 2222a ? b ? b , a ? 2 a b ? b ? b , a ? 2 a b ? ? ? ? ? ? ? ??a ? 2 b ，故 a ? 2b ? 0 。由于b 是非零向量，所以 2b >0，故 2b ? a ? 2b ，选 A。
问题：
（1） 如果你是这位数学教师，请指出这三种解法存在的错误；（9 分）
? ? ??（2） 请你从已知条件 a ? b ? b 出发，通过数形结合，引导学生给出一种正确的解法；（5 分）
（3） 针对学生在向量运算中的错误，请写出实数运算与向量运算的不同点（至少写出三点）。
（6 分）
六、教学设计题（本大题 1 小题，30 分）
17. 单调性是函数的基本性质之一。针对高中函数单调性中“增（减）函数”概念的教学，请 完成下面的任务：
（1） 给出“增（减）函数”概念形成过程中教学的重、难点；（8 分）
（2） 说明“增（减）函数”定义的要点；（10 分）
（3） 根据（2）中“增（减）函数”定义的要点，请写出教学设计思路。（12 分）
2017 年上半年中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力试题（高级中学）参考答案
一、单项选择题
1 .lim f (x) ? k ? 0 ， 则 ?ε ? 0 ， ?δ ? 0 ， 当 ．【答案】A 。解析： 由函数极限的定义，x ?a
f (x) ? k ? ?。另?? k ? r ，则有 ?(k ? r) ??f (x) ? k ? k ? r 。故对
时，有 0 ? x ? a ? ?
?r ?(0, k ), ??? 0, ?x ?(a ??, a ??) ，且 x ? a ，有 f (x) ? r 。
? x' ??? cos??? sin??x ???? ，当??3?? ?
2 .【答案】D。解析：旋转变换公式为? ' ? ? ? cos? y ?2 时得到的旋转
y?sin?? ? ??? ? ?
? 0 1??
?。 变换的矩阵为?
?? 1 0??
3 .【答案】C。解析：所求柱面的母线平行于 x 轴，则柱面方程中不含参数 x，通过题中的方程
组，消去 x 即可得到 C 选项。
4 .F (x) ，使得 F (x) = 【答案】A。解析：由 f (x) 为连续函数，则存在原函数
?x
a
r f (t)dt ? r（
为任意实数），显然 f (x) 的原函数不唯一，故选 A。
5 .
【答案】B。解析：因 A ? B ，且 P(B) ? 1，故 P( A) ? P( AB) ? P(B)P( A B) ? P( A B) ，
故选 B。
??1
0
?2
0 ? (?+1)(?? 3)2 ，
??1
?2 ? ? ??? x1 ?? 0 x ? 0 ，化简
? ? 2 ??? x????1? 3 ??? ?
6 .【答案】C。解析：矩阵的 A 特征多项式 ?E ? A ? 0 ?? 3
0
?2
2
0 ???1 ? ?? 3 则由方程(?+1)(?? 3)? 0 解得?? ?1 或 3。将?? 3 代入0
?
?? ?2
0
1 0 ?1??? x1 ?? ????x ? x ， x 为自由未知量，选项中没有对应的特征向量。同理代入 得到0 0 0 x ? 0 ，即
2 ? ?? ??1 3 2 ? ???0 0 0 ?? ? x3 ???
?? ?1，得到 x1 ? ?x3 ， x2 ? 0 。令 x3 ? 1 ，则得到特征向量(?1, 0,1)T 。
7 .【答案】A。解析：明朝末年，《原本》传入中国。1606 年，由我国数学家徐光启执笔，意大
利传教士利玛窦口译，合作翻译了《原本》的前六卷，并于 1607 年在北京印刷出版。这是我国最早的汉译本，在翻译时，徐光启在“原本”前加上了“几何”一词，“几何原本”一词由此而来。
8 .【答案】B。解析：A 项公理定义是由数学公理而对被定义项进行定义，如概率的公理化
定义；B 项属加种差定义是由被定义概念的邻近的属和种差所组成的定义，即“邻近的属+种差=被定义概念”，题干中“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，它邻近的属为平行四边形，种差为其一角为直角；C 项递归定义也称归纳定义，是指用递归的方法给一个概念下定义，它由初始条件和归纳条件构成；D 项外延定义是指通过揭示属概念所包括的种概念来明确该属概念之所指的定义， 如有理数和无理数统称实数。
二、简答题
9 .
【参考答案】
2
2
2
（1）令 F (x, y, z) ? 2x ? y ? 3z ? 6 ，对 F (x, y, z) 分別求 x，y，z 的偏导数。
Fx (x，y，z) ? 4x ， Fy (x，y，z) ? 2 y ， Fz (x, y, z) ? 6z 。
代入 M (1,1,1) 点， 得到该点处的法向量为（ 4,2,6 ）， 利用点法式方程， 则切平面方程为
4(x ?1) ? 2( y ?1) ? 6(z ?1) ? 0 。
（2）由（1）知，切平面方程为4(x ?1) ? 2( y ?1) ? 6(z ?1) ? 0 ，则切平面法向量为（4,2,6），平面5x ? ky ? 4z ? 0 ，法向量为(5, k, ?4) 。由两平面垂直，得到 4 ? 5 ? 2 ? k ? 6(?4) ? 0, k ? 2 。
10 .
【参考答案】
（1） 根据题意设存在一组不全为零的实数k1，k2，k3 ，使得
k1α1 ? k2α2 ? k3α3 ? 0， 即
?2 1 t ?2k1 ? k2 ? tk3 ? 0
k ? k ? 2k ? 0 ，则系数矩阵的行列式 1 1 2 ? 2t ? 2 ? 0，t=1。 ? 1 2 3 ??2k ? 2k ? 0 ?2 0 2 ? 1 3
（2） 通过初等行变换
T α? ? ? 2 1 1 ?? ?? 1 1 2?? ?? 1 1 2 ?? ?? 1 1 2??1 ? ? ??
α ? 1 1 2~ 2 1 1 ~ 0 ?1 ?3~ 0 1 3，故一个极大线性无关组 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ?α 3 ??? ?2 0 2?? ? ?2 0 2? ? 0 1 3 ? ? 0 0 0 ????
为α1，α2 ，且α3 ? 3α2 ? α1 。
1 .【参考答案】
3
C3 1
? 。独立进行 （1） 设“A=选取3杯饮料都是甲品牌”，一次性试验成功的概率为 P( A) ? 3 C 20 6
1 5次试验，服从二项分布 X ~ B(5， )。P{X ? 3} ? C 3 ? 1 ?? 19 ?
? ?? 20 ??? 5? 20 ?20 ?
3
5?3
? 361 。 320000
（2） 该品尝者具备区分能力。理由：由（1）可知此随机试验成功的概率大概为千分之一，是 小
概率事件，基本可以排除偶然性，故此人具备区分两种品牌饮料的能力。
12 .【参考答案】
行为动词“了解”的含义：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征， 从具体情境中辨认或者举例说明对象。“了解函数奇偶性”的含义：学生能够知道函数奇偶性的定义， 奇函数定义域关于原点对称，函数图像关于原点对称，满足 f (?x) ? ? f (x) ；偶函数定义域关于原
点对称，函数图像关于 y 轴对称，满足 f (? x) ??f (x) 能够通过解析式或图像判断函数的奇偶性，
判断哪些函数是奇函数，哪些函数是偶函数，以及非奇非偶函数，并能够举出一些函数奇偶性的例 子。
13 .【参考答案】
（1） 对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须要准确把握课程内容中的要求。学生
在学习数列这一章的时候应该掌握数列的概念，等差数列的概念、等差数列的通项公式及前 n 项和计算方法，等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和计算方法。所以在设计题型的时候，涵盖的知识点应包括以上知识点，达到全面性要求，以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度
（2） 在设计试题时.应该关注并且体现学生对数感、运算能力、推理能力以及应用意识和创新
意识等考查。测试中应该包含数列的计算、求解数列通项公式常用方法（如“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等）的使用以及常见的证明题、探究题等题目，可对学生能力进行全方位考查。
（3） 根据评价的目的合理设计试题的类型，有效地发挥各种类型题目的功能。题型练习多样化，
要有选择、填空、判断、解答、证明等常规性试题。同时可设置观察寻找数列数字规律、运算规律等探索性试题。还可以联系生活实际，将数列问题的运算融入日常生活中，设置实践性问题等。
（4） 在书面测验中，积极探索可以考查学生学习过程的试题，了解学生的学习过程。试题的设计要有难度也要有区分度，照顾到不同学习层次的学生，以便了解全体学生对本章知识掌握的程度， 指导今后的教学工作。测验学习结果的同时更要测验到学生由不会到会的学习过程。
三、解答题
14 .
【参考答案】
（1）
） 证明： f (x) 在[a，b] 上连续， 则?ε ? 0 ， ?δ ? 0 ， 当 0 ? x ? x0 ? δ 时， 有
由
f (x) ? f (x0 ) ? ε ， 其中 x0 ?[a，b] 。
x
x x0
x
由 F (x) ?
?a
f (t)dt ，则 F (x) ? F (x0 ) ??
?a
f (t)dt ? ?a f (t)dt ? ?x f (t)dt ? M x ? x0 ， 其
0
中 M ??max
t?( x?δ，x?δ)
?
f (t) 。当 x ? x ? 时，则有 F (x) ? F (x ) ? ε 。故 F (x) 在[a，b] 上连续。
0 M ?
0
（2） 由可导定义可知， ?x ? (a，b) ，
??F ?(x) ??lim F (x ? ?x) ? F (x) ??lim a ?x?0 ?x?0 ?x
x? ?x
f (t)dt ? ?f (t)dt
?x
x
a
f (t)dt ?
?lim f (x ? θ?x) ??f (x) 0 ? θ ? 1； ，其中， ?x?0 ?x ??x?0
?x
F (x) ? F (a) ?
F ?(a) ? lim ? lim a f (t)dt ? lim f (a ? θ (x ? a)) ???f (a) 0 ? θ ? 1
1? 1
x?a ?x?a ?x?a x ? a x ? a
x
?
?
?
?? lim x? ?x
x
F (x) ? F (b) ?bf (t)dt F ?(b) ? lim ? lim ? lim f (b ? θ (x ? b)) ??f (b) 0 ? θ ? 1，
2? 2
x?b?x?b?x?b x ? b x ? b
?
?
?
故 F (x) 在[a，b]上可导，且 F '(x) ? f (x)。
四、论述题
15 .【参考答案】
（1） 合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结 果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 （包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
（2） 在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方， 即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。圆有切线，切线与圆只相交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类比：对于球， 我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的 3 个点确定一个圆，类比：猜想空间中不共面的 4 个点确定一个球等。
演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题中起着重要的作用。“三段论”是演绎推理 的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结 论也必定是正确的。例如，三角函数都是周期函数，sinx 是三角函数，因此推导证明出该函数是周
期函数。又如，这样一道问题“证明函数 f (x) ? ?x ? 2x 在(??,1) 上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数 f (x) 在(??,1) 上满足增函数的定义，进而得出结论。
合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理 是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明； 演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。就数学而言，演绎 推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合 情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。
2
五、案例分析题
16 .
（1） 学生 1 在解答过程中只关注了 a ? b 与b 同向与反向时，在两个向量模长相等时 a 与b 满
【参考答案】
足的关系，但是忽略了 a ? b 与b 两个向量不共线的情况。学生 2 在解答过程中虽然注意到向量模长
? 2 ? ??
的性质即 a ? a ? a ，但是在化简过程中把向量的数量积与实数的乘法产生了混淆，忽略了向量数
? ? ? ??量积的性质，即 a ? b ? a b cos?，其中?为两向量的夹角。学生 3 在解答过程中把向最的数量积
? ? ? ??当作实数相乘，忽略了向量数量积的性质，即 a ? b ? a b cos?，其中?为两向量的夹角。
（2） 向量的线性运算不仅涉及向量的长度还涉及向量的方向。因此提出以下问题串引导学生思
考。
问题 1：向量在进行线性运算加减法的时候，满足什么样的运算法则呢？
问题 2：三角形法则与平行四边形法则，两种方法在计算的过程中应根据向量的何种特征进行 合理的选择呢？
问题 3：现在我们将 a 与b 分两种情况进行讨论：①两向量有相同起点时，②两向量首尾相连
时。对两个向量进行减法的线性运算。现在大家动起手来一起在纸上画一画a 与b 满足何种位置关
? ? ??
系时候，能够使得 a ? b ? b 。我们又可以借助那些特殊的图形对两个向量的位置关系进行描述呢？
问题 4：两种情况最终都可以等腰三角形进行概括描述，如：在等腰三角形 ABC 中 AB=AC，
? ? ??
令 BC ? a, AC ? b,则a ? b ? BC ? AC ? BA 。又 AB=AC，则 a ? b ? b 。（见图 1）
那么接下来，大家继续借助等腰三角形 ABC，在其基础上画出 2b 与 a ? 2b ，那么你可以发现什么结论呢？继续画出 2a 与2a ? b ，那么你又可以发现什么结论呢？
结论：根据向量的线性运算法则以及在三角形内角与边长的性质：大边对大角，△BCD 中
? ? ??
CD>BD，即 2b ? a ? 2b 。而 a ? 2b ， 2a 与2a ? b 的关系无法判断，故题目选 A。（见图 2）
（3） 向量元素与实数运算的本质区别在于，向量运算不仅涉及向量的长度，还涉及向量的方向。
向量的线性运算与实数运算虽然在运算过程中均满足运算律：交换律、结合律、分配律，但是 向量线性运算结果为向量，实数的运算结果为实数。
向量的数量积与实数运算虽然在运算过程中均满足运算律：交换律、分配律且运算结果均为实 数，但实数的乘法满足消去律，向量的数量积则不满足。
在实数运算中若a≠0 且ab=0 则b=0 但在向量运算中若 a ≠0 且a b =0 则有两种情况b ? 0 或 a
⊥ b 。
六、教学设计题
17 .【参考答案】
（1） 结合上述教学要求，将“增（减）函数”概念形成过程中教学的重难点确立如下： 教
学重点：从感知到认知上理解函数单调性的概念； 教学难点：归纳并理解抽象函数单调性的定义。
（2） 高中函数单调性中增减性的研究是对初中相关内容的进一步深化和提髙，具体给出了函
数在某个区间是增函数或减函数的定义，其定义的要点：
①函数的单调性是相对于某个区间来说的；
②在增减函数形式化定义的形成过程中要注重从特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意” 的理解。
（3） 活动一：展示学生熟悉的一次函数 y ? x 和二次函数 y ? x，给出函数图像，让学生从图
2
像上获得“上升”“下降”的整体认识。
提问 1：它们的图像有什么规律，它反映了相应的函数值的哪些变化规律？ 活动二：针对二次函数 y ? x给出下面表格：
2
x y ? x2 … … -4 16 -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 … … 要求学生结合上面的表格，用自然语言描述图像特征“上升”“下降”。 活动三：要求尝试运用数学符号将自然语言的描述上升到形式化的定义。.
提问 2：在区间?0, ??? 上任意给定两个数值，计算它们对应的函数值进行比较，可以验证上述自然语言描述的“上升”，但不能保证“任意”，可否给出一般性的结论？
学生分析回答，教师总结归纳得出函数单调性的一般概念。
活动四：利用多媒体展示的函数图像，并演示?0, ??? 区间内任取点 P 在函数图像上“按横坐标 x 增大”的方向移动时，点 P 的纵坐标的变化规律。
提问 3：增函数定义中，当 x1 ? x2 时，都有 f (x1 ) ? f (x2 ) ，改为当 x1 ? x2 时，都有 f (x1 ) ? f (x2 ) ，可以吗？
要求学生类比增函数的定义，给出减函数的定义及其几何意义。
提问 4：思考在区间（如???, 0? 和?0, ??? ）的公共端点 0 处，函数是增函数还是减函数？ 学生分析归纳，教师总结：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的。对于单独的一点由于
其函数值是某一确定的常数，因此没有增减变化，所以并不存在单调性问题。
教师补充知识点：有些函数在整个定义域内存在单调性，而有些函数在定义域内某个区间上是 增函数，而另一些区间是减函数，有些没有单调区间。
提问 5：你能再列举几个函数的例子，并讨论它们的单调性吗？ 学生举例，教师进行总结。
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