2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知U={x|y=
}，M={y|y=2x，x≥1}，则?UM=（ ）
A．[1，2） B．C．[2，+∞） D．（0，+∞） （0，1] 3．执行如图所示程序框图，则输出的n为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
4．“?x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．1]，y∈[0，2]，y）已知x∈[﹣1，则点P（x，落在区域 内的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复
名次）．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（ ）
A．27种 B．48种 C．54种 D．72种
7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣能是（ ） A．f（x）=cos（x+C．f（x）=sinxcosx
） B．f（x）=sin2x﹣cos2x D．f（x）=sin2x+cos2x
）=f（﹣x）；③f（x）在（
，
）上是减函数．则f（x）的解析式可
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，
如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（ ）
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A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，1]
9．设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且?=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（ ） A．80 B．100 C．120 D．160 10．该试题已被管理员删除
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=_______． 12．若
的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_______．
13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示．
6 7 8 9 10 11 12 销售单价/元
320 280 240 日均销售量/桶 480 440 400 360
请根据以上数据分析，这个经营部定价在_______元/桶才能获得最大利润． 14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）．若直线2x﹣y+m=0上存在点P，使得PA=PB，则实数m的取值范围是_______．
15．已知函数f（x）=，其中常数a＞0，给出下列结论：
①f（x）是R上的奇函数；
②当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立； ③f（x）的图象关于x=a和x=﹣a对称；
④若对?x1∈（﹣∞，﹣2），?x2∈（﹣∞，﹣1），使得f（x1）f（x2）=1，则a∈（，1）．其中正确的结论有_______．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6个小题，共75分.
16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试．现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数； （Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
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17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA． （1）求A的大小； （2）若cosB=，BC=5，
=
，求CD的长．
）2（n∈N*）．
18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=（（I）求数列{an}的通项公式； （II）设Tn为数列{
}的前n项和，若Tn≤λan+1对?n∈N*恒成立，求实数λ的最小
值．
19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l． （I）求证：l⊥平面CDE；
（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于
？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被
椭圆E截得的线段长为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
B两点，（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是
否存在实数k，使得△ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．设函数g（x）=lnx，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是正常数，且0＜λ＜1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最值；
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（Ⅱ）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|
﹣1|＜m成立？并说明
理由；
（Ⅲ）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．
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