南开中学高2019级高三3月月考试卷
数 学(理科)
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
注意事项：高/考/资/源/网
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3．考试结束，监考人员将答题卡收回. 一、选择题：(本大题10个小题，每小题5分，共50分)各题答案必须答在答题卡上. 1．函数y?sinx在点(?3,3)处的切线的斜率为( ) 2A．1 B．
1 2 C．
2 2 D．3 22．limx?1xx?x?( )
x?1A．
1 2
bB．
2 2 C．0 D．不存在
?1?3．若log2a?0,???1, 则( )
?2?A．a?1,b?0
B．a?1,b?0
C．0?a?1,b?0
D．0?a?1,b?0
4．设a,b是两条直线，?,?是两个平面，则a?b的一个充分条件是( ) A．a??,b//?,??? C．a??,b??,?//?
B．a??,b??,?//? D．a??,b//?,???
5．已知实数a,b?0, a,b的等差中项为( ) A．3
111, 设m?a?,n?b?, 则m?n的最小值为2abC．5
D．6
B．4
xax6．函数y??a?1?的图象的大致形状是( )
|x|
y 1 O -1 x y 1 O -1 x y 1 O -1 x y 1 O -1 x A B
C D x2y25??1的右焦点为F,P为椭圆上一动点，A(1,1), 则|PA|?|PF|的最小7．设椭圆
25163值为
( )
19 38．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在?ABC中，已知
A．
B．7
C．
D．
22 320 3a?3,B?45,
__________，求角A. 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示为A?60, 试问条件补充完整应为( ) A．b?都不对
9．设O,A,B是平面上的三点，OA?a,OB?b, 设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，向量OP?p. 若|a|?4,|b|?2, 则p?(a?b)等于( ) A．1
B．3
C．5
D．6
2 B．c?2?6 2C．c?2?6或b?2 2 D．以上答案
x2y210．设P为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为
ab双曲线C的右焦点，A为双曲线C的右准线与x轴的交点，e是双曲线C的离心率，则
?APF的最大值为( ) A．arcsin
1 e
B．arccos1 e
C．arctan1e2?1
D．arccote2?1
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题：(本大题5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡上(只填结果，不要过程)k/s/5/u
11．设集合A??x|x?3?,B??x|??x?1??0?, 则AB?_____________. x?4?212．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x?4)?f(x), 当x?(0,2)时，f(x)?2x, 则
f(7)?
__________________.
2n2?an?b)?2, 其中a,b?R, 则a?b?_____________. 13．已知lim(n??n?114．设函数f(x)?x?6x?5, 若实数x,y满足条件?_______. 15
．
设
2?f(x)?f(y)?0y, 则的最大值是
x?1?x?5{an?}n*(N为)等
差数列，则使
a1?a2?…?an?a1?1?a2?1?…?an?1?a1?2?a2?2?…
?an?2?a1?3?a2?3?…?an?3?2010成立的数列{an}的项数n的最大值是
__________.
三、解答题：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字
说明、演算步骤或推理过程)
16．(13分)已知向量a?(2cos?x,1),b?(sin?x?cos?x,?1),(??R,??0), 设函数f(x)?a?b(x?R),若f(x)的最小正周期为(1)求?的值； (2)求f(x)的单调区间.
2*17．(13分)正项数列{an}的前n项和为Sn, 且4Sn?(an?1),n?N.
?. 2(1)试求数列{an}的通项公式； (2)设bn?
1(n?N*), 求数列{bn}的前n项和Tn.
an?an?1S D
C
18．(13分)如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面，
AB?1,SB?3.
(1)求证：BC?SC;
(2)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SC所成角的大小.
19．(12分)已知函数f(x)?x?6x?4lnx?a(0?x?6). (1)求函数的单调区间；
(2)a为何值时，方程f(x)?0有三个不同的实根.
20．(12分)如图，斜率为1的直线过抛物线y?2px(p?0)的焦点，与抛物线交于两点A、B,
y 将直线AB按向量a?(?p,0)平移到直线l,N为l上的动点. B (1)若|AB|?8, 求抛物线的方程； (2)求NA?NB的最小值.
O F x
A
21．(12分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n(n?N)个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A,B,C可供使用.
*22
现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题： (1)写出a1,a2,a3, 并求出an;
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