所以上面三个式子中都不能取“＝”， 所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，
因为ab＋bc≥2ab2c，bc＋ac≥2abc2， ab＋ac≥2a2bc，
又a，b，c为互不相等的非负数， 所以ab＋bc＋ac>abc(a＋b＋c)， 所以a2＋b2＋c2>abc(a＋b＋c)． (2)要证原等式成立，只需证： 2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，
因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α] ＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β＝右边，
所以①成立，即原等式成立．
反证法 反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．
设{an}是公比为q的等比数列． (1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．
【精彩点拨】 (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．
【规范解答】 (1)设{an}的前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋?＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋?＋a1qn－1， ① qSn＝a1q＋a1q2＋?＋a1qn， ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
①
5
na1，q＝1，?a1?1－q?
∴Sn＝，∴Sn＝?a1?1－qn?
1－q
?1－q，q≠1.
n
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
2kkk－1a2·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， 1q＋2a1q＝a1q
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0， ∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列． [再练一题]
3．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明：数列{cn}不是等比数列．
【证明】 假设数列{cn}是等比数列，则 (an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．
①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
2所以a2n＝an－1an＋1，bn＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1 ?pq?＝anbn?q＋p?，
??pq即2＝＋，
qp
pq
当p，q异号时，q＋p<0，与②相矛盾； 当p，q同号时，由于p≠q， pq
所以q＋p>2，与②相矛盾． 故数列{cn}不是等比数列．
数学归纳法 1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键6
②
点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
2．关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
1
已知正数数列{an}(n∈N)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋a，用数n
*
学归纳法证明：an＝n－n－1.
1?1?
【规范解答】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2?a1＋a?，
?1?所以a21＝1(an>0)，所以a1＝1，又1－0＝1， 所以n＝1时，结论成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即ak＝k－k－1. 当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk 1?1?1?1?
＝2?ak＋1＋a?－2?ak＋a?
?k??k＋1?
11?1??1?
k－k－1＋? ＝?ak＋1＋a?－?
2?2?k－k－1?k＋1?1?1?a＋＝2?k＋1a?－k， ?k＋1?所以a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，
解得ak＋1＝k＋1－k(an>0)，所以n＝k＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝n－n－1. [再练一题]
n?an＋1?4．设数列{an}的前n项和Sn＝2(n∈N*)，a2＝2. (1)求{an}的前三项a1，a2，a3； (2)猜想{an}的通项公式，并证明． 【解】 (1)由Sn＝(2)猜想：an＝n.
证明如下：①当n＝1时，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即ak＝k，
7
n?an＋1?
，得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3. 2
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝＝
?k＋1??ak＋1＋1?k?ak＋1?
－2 2?k＋1??ak＋1＋1?k?k＋1?
－2.
2
k21
所以ak＋1＝－＝k＋1，
k－1k－1所以当n＝k＋1时，猜想也成立． 根据①②知，对任意n∈N*，都有an＝n.
转化与化归思想 转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，
f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．
【精彩点拨】 假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾．
【规范解答】 假设方程f(x)＝0有一个整数根k， 则ak2＋bk＋c＝0，
∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数， ∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．
综上可知，方程f(x)＝0无整数根． [再练一题]
5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.
【导学号：62952092】
【证明】 设n＝2m－1，m∈N*，则xn＋yn＝x2m1＋y2m1.
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