要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N*)． (1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除．
(2)假设当m＝k(k∈N*)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，
x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－
1
(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1)．
因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除， 所以当m＝k＋1时，命题成立． 由(1)(2)，知原命题成立.
1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( ) A．至多等于3 C．等于5
B．至多等于4 D．大于5
【解析】 n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．
【答案】 B 2．观察下列各式：
0
C01＝4； 11C03＋C3＝4； 122C05＋C5＋C5＝4； 1233C07＋C7＋C7＋C7＝4；
??
照此规律，当n∈N*时，
12n－1C02n－1＋C2n－1＋C2n－1＋?＋C2n－1＝________.
【解析】 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为
124，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C02n－1＋C2n－1＋C2n－1＋?
9
－1n－1＋Cn. 2n－1＝4
【答案】 4n－1 3．观察下列等式：
π?2π?4??
?sin 3?＋?sin 3?＝×1×2；
3????
π?2π?3π?4π?4????
?sin 5?＋?sin 5?＋?sin 5?＋?sin 5?＝×2×3；
3????????
π?2π?3π?6π?π?4?????
sin sin sin sin sin ?＋?＋?＋?＋?＝×3×4；?＋7?7?7?7?9?3??????????2π?3π?8π?4???
?sin 9?＋?sin 9?＋?＋?sin 9?＝×4×5；
3??????
?? 照此规律， π??
?sin 2n＋1???________.
44【解析】 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的3是个固定数，3后4
面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，3后面44
第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为3×n×(n＋1)，即3n(n＋1)．
4
【答案】 3n(n＋1)
4．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
【解析】 法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，
10
－2
－2
－2
－2
－2
－2
－2
－2
－2
－2
－2
－2
－2
－2
－2
2π??
＋?sin 2n＋1???
－2
3π??
＋?sin 2n＋1???
－2
2nπ??
＋?＋?sin 2n＋1???
－2
＝
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