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东山中学2011——2012学年度高三第一学期中段考试文科数学试题
一、 选择题: 二、 (本大题共10小题,每小题5分,共50分)
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1.已知集合A?{(x,y)y?x},B?{(x,y)y?2x?1},则AB?( )
A.?
B.(1,1)
C.{(1,1)}
D.R
2.若角?的终边经过点P(3,-4),则sin?的值是( )
4343A. B. C . - D . -
5555
8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 表面积为( )
A.72 B.66 C.60 D.30
5 5 3 正视图 3 4 侧视图 4 3.已知向量a=(3,1),b=(-1,3),那么( ) A. a⊥b
B. a∥b C. a>b D. a>b
4.函数f(x)?x4?x2?1在点x?1处的切线方程为( )
A.y?x?1 B.y?x?1 C.y?2x?1 D.y?2x?1
俯视图
9.已知函数f1(x)?ax,f2(x)?xa,f3(x)?logax(其中a?0且a?1),在同一坐标系中画出其中两个函数在x?0且y?0的范围内的大致图象,其中正确的是( )
y y y y ?后,得到的图象对应的函数是( ) 3??1 A.y?sin(2x?) B.y?sin(2x?) 6 6
22O C.y?sin(2x??) D.y?sin(2x??) 33 5.函数y?sin2x的图象向左平移6.不等式3x?1?1的解集是( )
2?x3? A.??x|?x?2?
?4?1 1 1 1 x O 1 x O x O 1 x
10.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM?2,则OA?(OB?OC)的最小值
3?B.?x|?x?2? ??4?A B C D 是( )
A. ?4 B. ?2 C. 2 D. 4
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
3?C.??x|x?2或x?? D.{x|x?2}
?4?7.“m?12”是“一元二次方程x?x?m?0”有实数解的( ) 411.函数y?ln(x?1)的定义域为 . 2?xA.充分不必要条件 B.充分必要条件
12.函数y?sin(?x??)(x?R,??0,0???2?)的部分 图象如右图,则??_________
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13.在△ABC中,已知cosA?
14.已知定义在R上的偶函数f(x)的图象关于直线x?1对称,且当0?x?1时,f(x)?x2,若直线y?x与曲线y?f(x)恰有三个交点,则a的取值范围为?a________________________.
53,sinB?,则sinC?______________. 135(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差。
18. (本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且 PA?AB?AC?2,点E是PD的中点. (1)求证:AC⊥PB; (2)求证:PB//平面AEC;
(3)求三棱锥P?AEC的体积.
三、解答题:(本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
15. (本小题满分12分)已知函数f(x)?sin(?x)?sin(??x),
2(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的最大值和最小值; (3)若f(x)?
16. (本小题满分12分) 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边, 满足a2?c2?b2?ac, (1)求角B的大小;
(2)设m?(sinA,cos2A),n?(?6,?1),求m?n的最小值。
17. (本小题满分14分)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为
Mf(x)?f(x?1)?f(x),某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元,成本为C(x)元,
?
1,求sin2x的值 4
19.(本小题满分14分)
已知二次函数f?x??ax2?bx?c.
(1)若f??1??0,试判断函数f?x?零点个数;
(2) 若对x1,x2?R,且x1?x2,f?x1??f?x2?,证明关于x的方程
f?x??1?f?x1??f?x2???在区间?x1,x2?内必有一个实根。 2?(3)是否存在a,b,c?R,使f(x)同时满足以下条件①当x??1时,函数f(x)有最小值0;
1②对?x?R,都有0?f(x)?x?(x?1)2,若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说明理
2由。
且R(x)?3000x?20x2,C(x)?600x?4000(x?N*),现已知该公司每月生产该产品不超过100台,(利润=收入-成本)
(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x);
20. (本小题满分14分)设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0,使得
f'(x)?h(x)(x2?ax?1),则称函数f(x)具有性质P(a).
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(1)设函数f(x)?lnx?b?2(x?1),其中b为实数 x?1又B?(0,?),?B?2?3 ………………………………6分
(ⅰ)求证:函数f(x)具有性质P(b) (ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知函数g(x)具有性质P(2),给定x1,x2?(1,??),x1?x2, 设m为实数,
(2)m?n??6sinA?cos2A?2sinA?6sinA?1?2(sinA?)?又
32211 ………………8分 20?A???mx1?(1?m)x2,??(1?m)x1?mx2,且??1,??1,若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|,求m的取值范围.
东山中学2011——2012学年度高三第一学期中段考试文科数学试题参考答案
一、选择题: (本大题共10小题,每小题5分,共50分) 题号 选项 1 C 2 C 3 A 4 D 5 D 6 B 7 A 8 A 9 B 10 B 2?,?0?sinA?1 ……………………………………10分 3当sinA?1时,m?n取最小值?5 ………………………………12分 17.解:(1)由题意
P(x)?R(x)?C(x)?(3000x?20x2)?(600x?4000)??20x2?2400x?4000 ………3分
MP(x)?P(x?1)?P(x)=[?20(x?1)2?2400(x?1)?4000]?(?20x2?2400x?4000)
?2380?40x
x?[1,100]且x?N? …………………………6分
?(2)P(x)??20(x?60)?68000,,x?[1,100]且x?N
2二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11. (1,2) 12.
? 4631 13. 14. (2k?,2k)(k∈Z)
465三、解答题:(本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 15.解:
当x?60时,P(x)的最大值为68000元 …………………………9分
因为MP(x)?2380?40x是[1,100]的减函数,?x?1时,MP(x)的最大值为2340元……12分 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为65660元。 ………………………14分 18.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, ∴PA⊥AC ………………2分
22f(x)?cosx?sinx?2(cosx?sinx)
22?2(cos(1)f(x)的最小正周期T??4cosx?sin?sinx)?2cos(x?)…………4分
44? 又∵AB⊥AC,,PA∩AB =A ………………………………………4分 ∴AC⊥平面PAB ,又PB?平面PAB ,∴ AC⊥PB …………………6分 (2)证明: 连接BD交AC于O,连接EO.在△DPB中,E是PD的中点,
又O是BD的中点,∴EO∥PB. ……………………………………8分 又EO?平面AEC,PB?平面AEC,,∴PB∥平面AEC. ………………10分 (3)VP?AEC?VC?PAE?VC?ADE?VE?ADC?2???2? …………………………………6分
(2)f(x)的最大值为2,最小值为?2 ………………… ………8分 (3)
1115f(x)?cosx?sinx?,平方得,1?2sinxcosx?,?sin2x?……12分
1616411112VP?ADC????2?2?2?…………14分 22323a2?c2?b21?, …………………3分 16.解:(1)在△ABC中,由余弦定理得cosB?2ac2▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
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由②知对?x?R,都有0?f(x)?x?1(x?1)2 2令x?1得0?f(1)?1?0,∴f(1)?1?0,∴f(1)?1得到a?b?c?1
?a?b?c?111?由?b?2a得a?c?,b?,
42?a?c?当a?c?
19. 解:(1)
111111,b?时,f(x)?x2?x??(x?1)2,其顶点为(-1,0)满足条件①,又42424411f(x)?x?(x?1)2,∴对?x?R,都有0?f(x)?x?(x?1)2,满足条件②。
42∴存在a,b,c?R,使f(x)同时满足条件①、②。 …………………………14分
f??1??0,?a?b?c?0, b?a?c
20解:①f'(x)???b2?4ac?(a?c)2?4ac?(a?c)2 …………………………2分
当a?c时??0,函数f?x?有一个零点; …………………………3分 当a?c时,??0,函数f?x?有两个零点。 …………………………4分 (2)令g?x??f?x??1b?2112??(x?bx?1)h(x)??0恒成立, ∵时,x?1x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)2∴函数f(x)具有性质P(b) ……………………………………3分 (ii) 当b?2时,对于x?1,?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0 所以f'(x)?0,故此时f(x)在区间(1,??)上递增; 当b?2时,?(x)图像开口向上,对称轴x?1,则 f?x1??f?x2?????2f?x1??f?x2?2
g?x1??f?x1??1?f?x1??f?x2????2?b?1,方程?(x)?0的两根为:2g?x2??f?x2??∴g?x1??g?x2???个实根。 方程f?x??f?x2??f?x1?1fx?fx???, ????12??22b?b2?4b?b2?4b?b2?4b?b2?42,,而?1,??(0,1)
22222b?b?4b?b2?4b?b2?4)时,?(x)?0,f'(x)?0,故此时f(x)在区间(1,) 上递 当x?(1,22b?b2?4,??)上递增。综上所述,当b?2时,f(x)在区间(1,??)上减;同理得:f(x)在区间(222递增; 当b?2时,f(x)在(1,b?b?4)上递减;f(x)在(b?b?4,??)上递增。…………7分
21fx?fx???1??2???0,??4f?x1??f?x2??∴g?x??0在?x1,x2?内必有一
1?f?x1??f?x2???在区间?x1,x2?内必有一个实根。…………………8分 2?b4ac?b2??1,?0 (3)假设a,b,c存在,由①得?2a4a ∴ b?2a,b?4ac,222(2)由题设知,g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x?2x?1),其中函数h(x)?0对于任意的x?(1,??)都
24a2?4ac, ∴a?c
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