东南数理化 初中数学教研组
12.2平方根和开平方（1）
一、 问题导入
1．小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，这个正方形桌面的边长是多少？
2．解答：设正方形桌面的边长为x分米，则可得：x2=64，因为x>0，所以x=8. 3．思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”.在解决问题时，我们联想到了哪一种运算？
二、学习新课 1、概念辨析：
（1）已知一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，即x2=a，我们把x叫做a的平方根，a叫做被开方数.
（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方运算. 【强调】 平方运算和开平方运算互为逆运算. 2．例题分析：
求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？
（1） 0.16; （2） -9; （3） 0. 2599，所以-无平方根.
2525解：因为（±0.4）2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4.
因为不存在一个实数的平方根为-
因为02=0，所以0的平方根为0. 3．性质归纳：
（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；
（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有2个不同
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的平方根，记作“±a”，它们互为相反数，其中“a”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a”.
（3）．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：±0=0.
【说明】“a”是一个数学符号，其意义是：非负数a的算术平方根，同时它也．．表示一个数，这个数的平方等于a，即（a）2=a. 三．问题拓展
思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？ （1）(?3)2的意义是什么？ (?3)2=？ （2）(3)2的意义是什么？ (3)2=？ （3）(?3)2的意义是什么？ (?3)2=？ （4）(?3)2的意义是什么？ (?3)2=？
11（5） 计算：()2=______ (?)2=______ (7)2=_______
33 (?7)2=______ 10?2=_______ (?10)?2=______.
2．规律总结：
（1）．a2表示a2的正平方根，因为a2≥0，所以a2=∣a|∣.
（2）．(a)2表示数a的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a≥0，且
(a)2=a；
(?a)2表示数a的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a≥0，且(?a)2=a；
综上所述，（±a）2=a.
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四、巩固练习
1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.
（1）?49=-7; （2）(?2)2=2; （3）-(?5)2=5; （4）81=±9 2．求下列各数的正的平方根：
（1） 225； （2）0.0001； （3）
9. 1213．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m的值. 【说明】
练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论：一种情况是2m-5与4m-9是一个数的两个相反的平方根；另一种情况是2m-5与4m-9是一个数的同一个平方根.
五、课堂小结
1．对学生而言，开平方运算和平方根不易理解的最大原因是：它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.
到目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根时，首先要根据已知数的正负性选择不同的运算性质，而且每种数有不同的运算结果：正数的平方根有两个，且互为相反数，而0的平方根只有一个：0；负数没有平方根.因此在教学时，应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解并接受平方根的意义和运算性质.建议这里的教学可以多花一点时间，多举一些实例进行说明.
2．在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而陌生，因此，体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.
本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课，意在于此.但在课后学生出现的最大问题是：求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系.因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题：“如果一个数的平方等于64，这个数是多少？”
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3．在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解.
4．要理解公式“a2=∣a∣” 和“（±a）2=a”超出了学生的思维发展水平，因此我在教学时的处理方式是：
（1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印象，这是设问题拓展的原因，意在通过一正一负两种问题的反复比较，让学生产生a2≥0的印象，然后归纳出“a2=∣a∣”.
（2）通过对“(?3)2的意义和计算结果”的讨论，达到对“(?3)2无意义”的理解，从而总结出“（±a）2=a”成立的前提条件是：“a≥0”.
对部分理解能力相对较弱的学生，笔者认为可以放低要求，对含字母的运算不作要求.
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