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第四部分 中考专题突破 专题一 整体思想
1.(2011年江苏盐城)已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是( A ) A．－1 B．1 C．－5 D．5
2．(2011年浙江杭州)当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为－6. 3．(2011年山东威海)分解因式：16－8(x－y)＋(x－y)2＝(x－y－4)2. 4．(2010年湖北鄂州)已知α、β是方程x2－4x－3＝0的两个实数根，则(α－3)(β－3)＝－6.
5．(2011年山东潍坊)分解因式：a3＋a2－a－1＝(a＋1)2(a－1)．
6．(2010年江苏镇江)分解因式：a2－3a＝a(a－3)；化简：(x＋1)2－x2＝2x＋1.
7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一共需5元．
解析：设铅笔每支x元， 日记本y元，圆珠笔z元，有：
??4x＋3y＋2z＝10 ①?， ?9x＋7y＋5z＝25 ②?
②－①得：5x＋4y＋3z＝15 ③， ③－①得：x＋y＋z＝5.
8．如图X－1－2，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂π
直，以点O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是. 2
图X－1－2
9．(2010年重庆)含有同种果蔬汁但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．
解析：设A果蔬的浓度为x，B果蔬的浓度为y，且倒出部分的重量为a，有：
?40－a?x＋ay?60－a?y＋ax
＝，
40603(40－a)x＋3ay＝2(60－a)y＋2ax，
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120x－3ax＋3ay＝120y－2ay＋2ax， 120x－120y＝5ax－5ay， 120(x－y)＝5a(x－y)， 解得：a＝24.
10．(2011年江苏宿迁)已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值． 解：原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2.
11．(2010年福建南安)已知y＋2x＝1，求代数式(y＋1)2－(y2－4x)的值． 解：原式＝y2＋2y＋1－y2＋4x ＝2y＋4x＋1 ＝2(y＋2x)＋1 ＝2×1＋1＝3.
?x－1?2x－1
12．(2010年江苏苏州)解方程：－－2＝0.
x2x解：方法一：去分母，得(x－1)2－x(x－1)－2x2＝0.
化简，得2x2＋x－1＝0， 1
解得x1＝－1，x2＝. 2
1
经检验，x1＝－1，x2＝是原方程的解．
2
x－1
方法二：令＝t，则原方程可化为t2－t－2＝0，
x解得t1＝2，t2＝－1.
x－1
当t＝2时，＝2，解得x＝－1.
xx－11
当t＝－1时，＝－1，解得x＝.
x21
经检验，x＝－1，x＝是原方程的解．
2
13．(2011年四川南充)关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2. (1)求k的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值． 解：(1)∵方程有实数根， ∴Δ＝22－4(k＋1)≥0， 解得：k≤0，
∴k的取值范围是k≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1， x1＋x2－x1x2＝－2－(k＋1)，
由已知，－2－(k＋1)＜－1，解得k＞－2， 又由(1)知k≤0， ∴－2＜k≤0，
又∵k为整数，∴k的值为－1和0. 14．阅读材料，解答问题．
为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，
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则原方程可化为y2－5y＋4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±5.∴x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－5.
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体思想的数学思想；
(2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0. 解：(2)设x2＝y，
则原方程化为：y2－y－6＝0. 解得：y1＝3，y2＝－2.
当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3； 当y＝－2时，x2＝－2，无解． ∴x1＝3，x2＝－3.
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专题二 分类讨论思想
1.已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为9 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是( C ) A．11 cm B．7 cm C．11 cm或7 cm D．5 cm或7 cm
2．已知一个等腰三角形腰上的高与腰长之比为1∶2，则这个等腰三角形顶角的度数为( D )
A．30° B．150° C．60°或120° D．30°或150°
k13．(2011年贵州贵阳)如图X－2－1，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交
xk1
于A(－1，－3)，B(1,3)两点，若＞k2x，则x的取值范围是( C )
x
图X－2－1
A．－1＜x＜0 B．－1＜x＜1 C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1 4．(2011年甘肃兰州)如图X－2－2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的k2＋2k＋1
边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝的图象上．若点A的坐标为(－2，－
x2)，则k的值为( D )
图X－2－2
A．1 B．－3 C．4 D．1或－3
14
5．(2011年山东枣庄)如图X－2－3，函数y1＝|x|和y2＝x＋的图象相交于(－1,1)，(2,2)
33两点．当y1>y2时，x的取值范围是( D )
图X－2－3
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