【解答】解：根据勾股定理得：BA=；
（1）分两种情况讨论： ①当△BPQ∽△BAC时，
，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8， ∴，解得，t=1， ②当△BPQ∽△BCA时，
，
∴，解得，t=；
∴t=1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°， ∴∠NAC=∠PCM， ∵∠ACQ=∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t=．
27．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG， （1）求证：直线EP为⊙O的切线；
2
（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG=BF?BO．试证明BG=PG；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．
【解答】（1）证明：连结OP，
∵EP=EG， ∴∠EPG=∠EGP， 又∵∠EGP=∠BGF， ∴∠EPG=∠BGF， ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠OBP， ∵CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°， ∴∠EPG+∠OPB=90°， ∴直线EP为⊙O的切线；
（2）证明：如图，连结OG，OP，
∵BG=BF?BO，
2
∴=，
∴△BFG∽△BGO， ∴∠BGO=∠BFG=90°， 由垂径定理知：BG=PG；
（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，
∵sinB=，
∴=，
∵OB=r=3， ∴OG=
，
由（2）得∠EPG+∠OPB=90°， ∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°， ∴∠B=∠OGF， ∴sin∠OGF=∴OF=1，
∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4， 在Rt△BCA中，
2
CF=BF?FA，
=
∴CF=∴CD=2CF=4
=．
=2．
28．（12分）如图，二次函数y=﹣x+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点 （1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明
2
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