第20题 函数零点的个数问题
I．题源探究·黄金母题
【例1】求函数f(x)?lnx?2x?6的零点的个数． 【答案】1．
【解析】f?x?的定义域为
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修1第88页例1． 【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．
【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法．而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性．
?0,???．f?2??ln2?4?6?0,f?3??ln3?6?6?0,由零点存在性定理知f?x?有零点．又
f??x??1?2?0,?f?x?在?0,???上是单调递增函数，x?f?x?只有一个零点．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考江苏卷第14题】设f(x)是定义在R且周
2??x,x?D,期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)?? 其中集合
x,x?D,??
【命题意图】本题主要考查考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记、理解与应用． 【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活
n?1??D??xx?,n?N*?，则方程f(x)?lgx?0的解的个数
n??是 ． 【答案】8
【解析】由于f(x)?[0,1)，则需考虑1?x?10的情况，在
选择方法，如直接求解，或数形结合转化为q*此范围内，x?Q且x?Z时，设x?,p,q?N,p?2，
p两个函数图象的交点个数问题，或借助于导且p,q互质．若lgx?Q，则由lgx?(0,1)，可设
数研究函数的单调性，得到函数的零点个数．
nlgx?,m,n?N*,m?2，且m,n互质．
m因此10nm?qqmn，则10?()，此时左边为整数，右边非整pp数，矛盾，因此lgx?Q．因此lgx不可能与每个周期内x?D对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期x?D的部分的交点，画出函数图象，图中交点除?1,0?外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x?D的部分，且x?1处
?lgx???11??1，则在x?1附近仅有一个交点，
xln10ln10一次方程解的个数为8．
【例3】【2016高考新课标I改编】函数f?x??2x2?e在
x??2,2?有 个零点．
【答案】D．
【解析】函数f?x??2x2?ex|
在?2,2上是偶函数，其图
??象关于y轴对称，故先考虑其在?0,2?上有几个零点．
f?0??0,f?1??0,f(2)?8?e2?0,?f?x?在
?0,2?上有零点．设g?x??f??x??4x?ex．
g?0??0,g?1??0,g?2??0,?g?x?在?0,2?上有零
点．又由g??x??0，可得4?ex?0，设其解为x1，易知
x1??1,2?且g?x1??0,?g?x?在?0,2?上有唯一零点，设为
x0且x0??0,1?．从而当0?x?x0时，g?x??0，即
f??x??0；当x0?x?2时，g?x??0，即f??x??0，故
x?(0,x0)时，f(x)为单调递减函数；当x?(x0,2)时，f(x)为单调递增函数．
又f?0??0,f?1??0,?f(x0)?0,?f?x?在?0,2?上有唯一零点．由函数图象的对称性可知f?x?在?0,2?上有两个零点． 【例4】【2015年高考江苏卷】已知函数f?x??lnx，
【命题意图】本题主要考查考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．
【难点中心】一些对数型方程不能直接求出
??0,0?x?1g?x???2，则方程f?x??g?x??1实根
x?4?2,x?1??的个数为__________． 【答案】4．
【解析】方程等价于f?x??g?x???1，即
f?x???g?x??1或f?x???g?x??1共多少个根，
其零点，常通过平移、对称变换转化为相应?1,0?x?1?y?1?g?x???x2?1,1?x?2，数形结合可得：f?x?与的函数图像问题，利用数形结合法将方程根
?7?x2,x?2的个数转化为对应函数零点个数，而函数零?y?1?g?x?有两个交点；
??1,0?x?1?y??1?g?x???x2?3,1?x?2，同理可得f?x?与
?5?x2,x?2?点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢．
y??1?g?x?有两个交点，所以共计4个．
III．理论基础·解题原理
1．零点的定义：一般地，对于函数y?f?x??x?D?，我们把方程f?x??0的实数根x称为函数
y?f?x??x?D?的零点．
2．函数零点存在性定理：设函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，且f?a?f?b??0，那么在开区间?a,b?内至少有函数f?x?的一个零点，即至少有一点x0??a,b?，使得f?x0??0． （1）f?x?在?a,b?上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提； （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设f?x?连续）
① 若f?a?f?b??0，则f?x?的零点不一定只有一个，可以有多个； ② 若f?a?f?b??0，那么f?x?在?a,b?不一定有零点； ③ 若f?x?在?a,b?有零点，则f?a?f?b?不一定必须异号．
3．若f?x?在?a,b?上是单调函数且连续，则f?a?f?b??0?f?x?在?a,b?的零点唯一． 4．函数的零点、方程的根、两图像交点之间的联系：
设函数为y?f?x?，则f?x?的零点即为满足方程f?x??0的根，若f?x??g?x??h?x?，则方程可转变为g?x??h?x?，即方程的根在坐标系中为g?x?,h?x?交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到． 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化． 5．函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理；
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内；
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关．
（2）方程的根： 工具：方程的等价变形；
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数；
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数． （3）两函数的交点： 工具：数形结合；
作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围； 缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小．若涉及的函数为分段函数，则难度加大． 【技能方法】
1．零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内．例如：对于方程lnx?x?0，无法直接求出根，构造函数f?x??lnx?x，由f?1??0,f???0即可判定其零点必在?,1?中． 2．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
（1）解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上． （2）利用零点存在性定理进行判断；
（3）画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 3．断函数零点个数的常见方法
（1）直接法：解方程f?x??0，方程有几个解，函数f?x?就有几个零点；
（2）图象法：画出函数f?x?的图象，函数f?x?的图象与x轴的交点个数即为函数f?x?的零点个数； （3）将函数f?x?拆成两个常见函数g?x?和h?x?的差，从而
?1??2??1??2?f?x??0?g?x??h?x??0?g?x??h?x?，则函数f?x?的零点个数即为函数y?g?x?与函数y?h?x?的图象的交点个数；
（4）二次函数f?x??ax?bx?c?a?0?的零点问题主要从三个方面考虑：
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