令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有
三解．∵关于的方程
在
，故答案为
和．
，恰好有4个不相等实数根，∴关于的方程
上各有一解，∴
，解得
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
1lnx?，x?1，x【例7】【2018江苏南通如皋高三第一次联考】已知函数f?x??{ 若
m52x2?mx??，x?1，28g?x??f?x??m有三个零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】?1，?
【解析】g?x??f?x??m有三个零点，根据题意可得x?1时，函数有一个零点； x?1时，函数有两个零点．当x?1时， f?x??lnx?时， f?x??2x2?mx???7?4?111x?1， f??x???2?2?0恒成立f?x???1,???，故m?1；当x?1xxxxm5?，要使得g?x??f?x??m有两个零点，需满足28??5m?2??m?8????0,??82???m7?7??7?，解得，综上可得，故答案为1，1?m??1,???1，?． ?4?4??4??4m5?f1?2?m???0???28?【例8】【2017江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学届高三六校联考】已知函数f?x??lnx?1||， f?x??m的四个零点x1， x2， x3， x4，且k?1111???，则x1x2x3x4f?k??ek的值是__________．
【答案】?e2
【例9】【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】已知函数的图象向右平移两个单位，得到函数（1）求函数（2）若方程
的解析式； 在
上有且仅有一个实根，求的取值范围．
的图象．
将
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）借助平移的知识可以直接求出函数解析式 （2）先换元
将问题转化为
有且只有一个根，再运用函数方程思想建立不等式组分析求解．
（1）（2）设
上有且仅有一个实根．
，则，原方程可化为，于是只须在
法1：设由①得法2：由
，
，对称轴，即
，得
，则
，，
①．或
．由②得，设
，则
②
无解，则，
．
．
记，则．从而
．
在上是单调函数，因为故要使题设成立，只须．即
【名师点睛】在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法，转化为一元二次函数的问题，根据题目要求，如需要分类讨论，再加入分类讨论．
【例10】【江苏扬州模拟】设f?x??xx?a?2x (a?R) （1） 若a?2，求f?x?在区间0,3上的最大值； （2） 若a?2，写出f?x?的单调区间；
（3） 若存在a??2,4，使得方程f?x??tf?a?有三个不相等的实数解，求t的取值范围． 【答案】（1） f?x?max?f?3??9 （2） f?x?的单调增区间为???,??????a?2??和?a,???，单调减区间2?9?a?2?,a （3） 1?t???8?2?
试题解析：
?x2?4x,x?2（1）当a?2时，f?x??xx?2?2x={2 ，
x,x?2? f?x?在R上为增函数，? f?x?在?0,3?上为增函数，则f?x?max?f?3??9 ．
?x2??2?a?x,x?a ，（2）f?x??{2x??2?a?x,x?a当x?a时， a?当x?a时，
a?2，?0?a?2?a?a?2，
a?2， ? f?x?在?a,???为增函数 ， 2a?2?a?22?aa?2?a?2??,a?为减为增函数，在?a??0，即?a，?f?x?在???,??2?222?2??函数，则f?x?的单调增区间为???,??a?2??a?2?,a? ． 和，单调减区间a,??????22???（3）由（2）可知，当?2?a?2时， f?x?为增函数，方程不可能有三个不相等实数根，
?a?2?， ?a?2?当2?a?4时，由（2）得 f?a??tf?a??f?，2a?2at??4?2??a?2?即1?t?8a22在??a?2?2,4有解，由
2?8a?a11??在?2,4?上为增函数， 82a2?a?2??当a?4时，
8a2的最大值为
99，则1?t? ． 88【例11】【2018海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学等八校联考】设函数
2x3?3x2?1,x?0f?x??{ ，其中a?0． x2axe?1,x?0（1）若直线y?m与函数f?x?的图象在?0,2上只有一个交点，求m的取值范围； （2）若f?x???a对x?R恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） ?1?m?3或m??2；（2） a????e?,???． ?e?2?
令f'?x??0得0?x?1， f?x?递减，∴f?x?在x?1处取得极小值，且极小值为f?1???2， ∵f?0???1， f?2??3，∴由数形结合可得?1?m?3或m??2． （2）当x?0时， f'?x??2a?x?1?e， a?0，令f'?x??0得x??1；
x令f'?x??0得?1?x?0， f?x?递增；令f'?x??0得x??1， f?x?递减，∴f?x?在x??1处取得极小值，且极小值为f??1???2a2a2ae ?1，∵a?0，∴??1?0，∵当??1??2即0?a?时，
eee22ae?1??2即a?时， e2f?x?min?f?1???2，∴?a??2，即a?2，∴无解，当?f?x?max?f??1???综上， a??2a2aeeee，又． ?1，∴?a???1，即a??，∴a?eee?2e?22e?2?e?,???． ?e?2?【名师点睛】函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，对于分段函数来讲，分段讨论最值即可． 【跟踪练习】
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