如果x是实数，且x??1，x?0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：
(1?x)n?1?nx.
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析：首先证明当n?2时,不等式成立,再假设n?k时,不等式成立;在假设的基础上证明当n?k?1时不等式也成立,最后得出结论不等式成立,要注意
n?k,n?k?1两种情况下不等式的变化.
试题解析：
当n?2时，(1?x)2?1?2x?x2?1?2x，不等式成立， 假设当n?k时不等式成立，即(1?x)k?1?kx， 则
当
k?1k??x1?k??kxn?k?1时，
(?x?)x?1k2(?(x.
1?1k))?即当n?k?1时，不等式也成立. 综上，(1?x)n?1?nx. 【考点】数学归纳法.
????????3219．已知?ABC中，BD??BC(0???1)，cosC?，cos?ADC?.
510（1）若AC?5,BC?7，求AB的大小； （2）若AC?7,BD?10，求?ABC的面积. 【答案】（1）42；（2）42．
【解析】试题分析：（1）已知两边及夹角，求第三边，直接用余弦定理可得；（2）从已
1AC?BCsinC求得面积，在ΔADC中，可2先求得?CAD，然后用正弦定理求得DC，从而得面积．
知发现只要求出CD的长就可用公式S?试
题
解
析
：
（
1
）
由
余
弦
定
理
可
知
，
AB?AC2?BC2?2AC?BC?cosC?25?49?2?5?7?3?42 52（2）依题意，sinC?1?cosC?472，sin?ADC?1?cos2?ADC?， 510
第 9 页 共 16 页
所以S?ABC?114AC?BCsinC??7?15??42. 225【考点】余弦定理，正弦定理，两角和与差的余弦公式，三角函数的同角关系．
20．长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天[0,10) 锻炼的时间（分钟） 总人数 20 [10,20) 36 [20,30) 44 [30,40) 50 [40,50) 40 [50,60) 10 将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2?2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
男 女 合计 课外体育不达标 课外体育达标 20 合计 110 （2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差.
n(ad?bc)2参考公式：k?，其中n?a?b?c?d.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2参考数据：
P(K2?k0) 0．10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k0 【答案】（1）列联表见解析，不能判断“课外体育达标”与性别有关；（2）期望为方差为
3，49． 1622【解析】试题分析：（1）从所给数据知体育达标有50人，不达标有150人，再根据列联表中数据可填写表格，再由K计算公式计算出K即知结论；（2）从条件知随机变量X～B(3,)，由二项公布的期望公式及方差公式易得期望与方差． 试题解析：（1） 男 女 合计 214课外体育不达标 60 90 150 课外体育达标 30 20 50 合计 90 110 200 200(60?20?30?90)2200K???6.060?6.635
150?50?90?11033第 10 页 共 16 页
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. （2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率， ∴X～B(3,)， ∴E(X)?3?1413139?，D(X)?3???. 444416【考点】列联表，独立性检验，二项分布．
21．在四棱锥P?ABCD中，设底面ABCD是边长为1的正方形，PA?面ABCD.
（1）求证：PC?BD；
（2）过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E，当三棱锥E?BCD的体积最大时，求二面角E?BD?C的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）
?. 4【解析】试题分析：（1）要证线线垂直，可利用线面垂直的性质定理，即先证线面垂直，题中由正方形有BD?AC，由已知线面垂直有BD?PA，从而可证BD与平面PAC垂直，从而得证题设结论；（2）求二面角，一般建立空间直角坐标系，用空间向量法求解，题中有AB,AD,AP两两垂直，以他们为坐标轴建立空间直角坐标系，由三棱锥
E?BDC体积最大时，求得PA的长，然后写出各点坐标，同时计算出E点坐标，求得平面EBD和平面CBD的法向量，求出法向量夹角，可观察出此二面角为锐角，从
而得二面角．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BD?AC，PA?平面ABCD， 由此推出PA?BD， 又AC?PA?A，
∴BD?平面PAC，而PC?平面PAC，所以推出PC?BD. （2）设PA?x，三棱锥E?BCD的底面积为定值，求得它的高h?x， 2x?2当x?22，即x?2时，h最大值为，三棱锥E?BCD的体积达到最大值为x41122. ??1?1??32424以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，则
????????B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2)，令E(x,y,z)，PE??PC，
????????3332BE?PC，得??，∴E(,,?)，
4444?????????132'''设n?(x,y,z)是平面EBD的一个法向量，BD?(?1,1,0)，BE?(?,,? )，
444第 11 页 共 16 页
????????n?BD?0则?????，得n?(1,1,2). ???n?BE?0????又AP?(0,0,2)是平面BCD的一个法向量， ??????2∴cos?n,AP??，∴二面角E?BD?C为.
42【考点】线面垂直的判断与性质，二面角．
【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．
22．已知点C为圆(x?1)2?y2?8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，
??????????????????APM且有点A(1,0)和上的点，满足MQ?AP?0，AP?2AM.
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）若斜率为k的直线l与圆x2?y2?1相切，直线l与（1）中所求点Q的轨迹交于
?????43???不同的两点F，H，O是坐标原点，且?OF?OH?时，求k的取值范围.
45x22332?y2?1；【答案】（1）（2）?或 ?k???k?22332??????????????????【解析】试题分析：（1）从条件MQ?AP?0，AP?2AM知MQ是线段AP的垂直
平分线，从而得|CP|?|QC|?|QP|?|QC|?|QA|?22，因此以点Q的轨迹是以点（2）直线与椭圆相交问题，首先设直线方程C,A为焦点的椭圆，由此易得轨迹方程；
22为y?kx?b，由它与圆相切可得b?k?1，设直线与椭圆的交点为
F(x1,y1),H(x2,y2)，把直线方程与椭圆方程联立后消元整理可得x诉一元二次方程，
从
而
有
x1?x2,x1x2，同时注意
Δ?0，接着计算
????????OF?OH?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?kb(x1?x2)?b2，代入刚才的结论得到用k表????????示的OF?OH，代入已知不等式可得k的范围．
试题解析：（1）由题意知：MQ是线段AP的垂直平分线，所以
|CP|?|QC|?|QP|?|QC|?|QA|?22?|CA|?2
所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，
第 12 页 共 16 页
相关推荐：
loading