中学生理化报
一元二次方程根与系数的关系
同步生本课堂
一、 知识导图
求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程
方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解
二、 新知导学
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根
公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：
；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，
即当，时，那么则是的两根。一元
二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程在的三种情况，以及应用求根公式求出方程而分解因式，即
三、 精要解读
一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，也是方程理论的重要组成部分。
。
根的判别式
的两个根
存，进
重点：根与系数的关系。难点：对根与系数的关系的理解和推导.一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法.
四、 能力构建
设一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，当方程有解时，则x1+ x2=-x1 x2=
2b ，ac，其常见应用有： a1、 求方程中字母系数的值
例1、 已知方程2x+4x+m=0的两根的平方和为34，求m的值.
解：设方程的两根为x1、x2，根据题意有 x1+ x2222=34 ①
根据根与系数的关系得
x1+ x2= -2 ② x1 x2 =
m ③ 2 联立①②③可解得 m=-30③ 检验：当m=-30时，△=256＞0 ∴ m=-30
注意：当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0。具体运用时，可先求出字母的值，再来检验△，如例1；也可先由△≥0，求出字母的范围，再来取值.
例1中由△=4-8m≥0得m≤2.
练习1、已知关于x的方程x-（k+1）x+k+2=0的两根的平方和是13，求k的值. 【±4】
2、已知方程2x+bx-2b+1=0的两根的平方和是
22229，则b的值是（ ）. 【 A 】 4 A、3 B、-3或11 C、-11 D、 3或-11
2、 求方程两根对称式的值
若?、?为一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根，运用根与系数的关系，可求
①?22+?2=（?+?）-2??
2 ②（?-?）=（?+?）-4??
③ ∣?-?∣=④
22?????2=
?????2?4??
1?1?1????? ???2??2?????2?2??⑤2?2? ?2???2?2????1???2??2?????2?2??⑥??等对称式的值. ???????例1、已知?、?为一元二次方程2x-6x+3=0的两根，求下列各式的值 ①（?-?）
22 ② ??????111??1? ③ ??????22????????解：根据根与系数的关系得
????3 ???223 2 ① （?-?）=（?+?）-4??=3 ② ??????225131??1????1?1?==+1+1+= ??????236????????2??2?????2?2??8 ③ 2?2?= ?23???2?2????11只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含???、??的代数式，代入求值即可.
练习：1、若?、?是方程2x-4x-3=0的两根，则??3????=
【
22223】 22 2、已知方程2x?mx?4?0的两根为?、?，且【 -8 】
1??1??2，则m=
3、 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值
例1、 已知m、n是一元二次方程x?3x?1?0的两根，求下列代数式的值
2例2、 ①2m?4n?6n?9 ②
2233m?4n2?11 22 解：由根与系数的关系得 m+n=3、mn=1
由根的定义得 n?3n?1?0 m?3m?1?0 ①2m?4n?6n?9
=2m?2n?2n?6n?9 =2?m?n??4mn?2n2?3n?9
2222222??=3
②由m?3m?1?0 得m?3m?m
23233m?4n2?11 2322 =3m?m?4n?11
29232 =m?m?4n?11
2212322 =m?m?4m?4n?11
22 则
??122m?3m?4?m?n??8mn?11 =2
?? =385
此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的.常常需要结合根的定义,将式中的高次降低,直至出现对称式,再利用根与系数的关系求值.如果例3中要求
m3?n3的值，我们只需要利用根的定义降次即可求出.
由根的定义可得
m2?3m?1 n2?3n?1
3232 即 m?3m?m n?3n?n 则m?n=3m?m?3n?n =3m?n3322?22???m?n? 再运用根与系数的关系即可.
222练习1、已知?、?为方程x?2x?7?0的两个实数根，求??3??4?的值.
【 32 】
2、已知x
1、x
2是方程x2?x?9?0的两个实数根，求代数式
x1?7x2?3x2?66的值. 【 16 】
324、 判断两根的特殊关系
在一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）中，当方程有根时，若两根互为相反数，有x1+ x2=-2bc=0，即b=0；若两根互为倒数，有x1 x2 ==1，即a=c. aa例4、关于x的方程x2?2?m?2?x?m2?4?0的两根互为倒数，则m的值是（ ）
A、5 B、?5 C、-5 D、-2 解：设方程两根为x1、x2，根据题意得， x1 x2=m?4?4 ① △=4?m?2??4m2?4≥0 ②
22??由①得m=?5 由②得m≥-2 ∴m=5
练习1、方程x??m?1?x?2m?1?0，当m= 时，方程两根互为相2反数；当m= 时，方程两根互为倒数. 【 -1， 1 】
2、当k为何值时，方程2x?k?2k?15x?k?0的两根互为相反数.
【 -2 】
2?2?5、 判断方程两根的符号
一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）当△≥0且x1 x2＞0时，两根同号；当△≥0且x1 x2＜0时，两根异号.
若x1+ x2＞0 x1 x2＞0，则x1＞0、x2＞0；
若x1+ x2＜0 x1 x2＞0，则x1＜0、x2＜0. 反之，也成立。
例5、 已知方程x?2mx?m?4?0，不解方程，求证：
222
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