高考数学专题七立体几何第54练平行与垂直的证明练习

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题七 立体几何 第54练

平行与垂直的证明练习

训练目标 能熟练应用平行、垂直的有关定理及性质证明平行、垂直问题. 训练题型 (1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件. 解题策略 用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用. 1．(2015·苏州上学期期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点． 求证：(1)EF∥平面C1BD； (2)A1C⊥平面C1BD.

2.如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝2，BC＝1，E，F分别是AB，

PC的中点， DE⊥PA.

(1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAC⊥平面PDE.

1

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝中点．

(1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PDC.

4．(2015·北京朝阳区第一次综合练)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． (1)求证：BD⊥平面ACC1A1； (2)求证：直线AB1∥平面BC1D；

(3)设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．

5．(2015·北京海淀下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，

2

AD，E、F分别为PC、BD的2

M为AF1的中点，如图2.

2

(1)求证：BE1⊥DC； (2)求证：DM∥平面BCE1；

(3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．

答案解析

1．证明 (1)如图，连接AD1， ∵E，F分别是AD和DD1的中点，

∴EF∥AD1.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

AB∥D1C1，AB＝D1C1，

∴四边形ABC1D1为平行四边形， 即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1. 又EF?平面C1BD，BC1?平面C1BD， ∴EF∥平面C1BD.

(2)如图，连接AC，则AC⊥BD.

∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴AA1⊥BD.

又AA1∩AC＝A，AA1?平面AA1C，AC?平面AA1C， ∴BD⊥平面AA1C，A1C?平面AA1C， ∴A1C⊥BD. 同理可证A1C⊥BC1.

又BD∩BC1＝B，BD?平面C1BD，BC1?平面C1BD， ∴A1C⊥平面C1BD.

2．证明 (1)如图，取PD中点G，连接AG，FG，

1

因为F，G分别为PC，PD的中点，所以FG∥CD，且FG＝CD.

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又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE＝CD.

2所以AE∥FG，AE＝FG.

所以四边形AEFG为平行四边形．

所以EF∥AG，又EF?平面PAD，AG?平面PAD，

3

所以EF∥平面PAD.

(2)设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点，得AH＝AECHCD＝1

2

，

又因为AB＝2，BC＝1， 所以AC＝3，AH＝13

3AC＝3.

所以AH＝ABAEAC＝2

3

，又∠BAC为公共角，

所以△HAE∽△BAC.

所以∠AHE＝∠ABC＝90°，即DE⊥AC.

又DE⊥PA，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， 所以DE⊥平面PAC.

又DE?平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE. 3．证明 (1)如图，连接AC，则AC∩BD＝F， 因为四边形ABCD为正方形， 所以F为AC的中点， 又E为PC的中点， 所以在△CPA中，EF∥PA. 又PA?侧面PAD，EF?侧面PAD， 所以EF∥侧面PAD.

(2)因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD，

因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD?底面ABCD， 所以CD⊥侧面PAD.

又PA?侧面PAD，所以CD⊥PA. 又PA＝PD＝2

2

AD， 所以△PAD是等腰直角三角形， 且∠APD＝π

2

，即PA⊥PD.

因为CD∩PD＝D，且CD?侧面PDC，PD?侧面PDC， 所以PA⊥侧面PDC.

又PA?侧面PAB，所以侧面PAB⊥侧面PDC. 即平面PAB⊥平面PDC.

4．(1)证明 因为三棱柱的侧面是正方形，

所以CC1⊥BC，CC1⊥AC，BC∩AC＝C，BC?底面ABC，AC?底面ABC，

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