第四节 二次函数与幂函数
1．二次函数:掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2．幂函数:(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝1
x，y＝，y＝x2的图象，了解它们的变化情况．
x
3
1
知识点一 五种常见幂函数的图象与性质 五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 α
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x 12y＝x1 － R {y|y≥0} 偶 (－∞，0]减，(0，＋∞)增 R R 奇 增 (1,1) 12 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (－∞，0)和(0，＋∞)减 R R 奇 增 易误提醒 形如y＝x(α∈R)才是幂函数，如y＝3x不是幂函数．
[自测练习]
12
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点?，?，则k＋α＝( )
?22?13
A.B．1C.D．2 22知识点二 二次函数
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象和性质 图象 定义域 值域 x∈R 2a>0 a<0 2?4ac－b，＋∞? ?4a?b－∞，－?上递减，在在?2a???－∞，4ac－b? 4a??b－∞，－?上递增，在在?2a??单调性 ?－b，＋∞?上递增 ?2a??－b，＋∞?上递减 ?2a?奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 b①对称轴：x＝－； 2a图象特点 b4ac－b?②顶点：?－， 4a??2a2
易误提醒 研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数．
必备方法
1．函数y＝f(x)对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝x1＋x2
f(x)的图象关于x＝对称．
2
(2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件
??a>0，
(1)ax＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是?2
?b－4ac<0.?
2
??a<0，
(2)ax＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是?2
?b－4ac<0.?
2
[自测练习]
2.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是( )
A．y＝－x2＋2x＋1 B．y＝－x2－2x－1 C．y＝－x2－2x＋1 D．y＝x2＋2x＋1
3．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________． 4．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
考点一 幂函数的图象与性质|
1?1．(2015·济南二模)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f??2?的值为( ) 1A. 32C. 3
1B. 24D. 3
2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
3．(2015·安庆三模)若(a+1)
幂函数图象与性质应用的三个关注点
(1)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
?13<(3-2a)，则实数a的取值范围是________．
-13考点二 二次函数的图象与性质|
(1)为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如
图所示)．若对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为( )
1
A．y＝(x＋3)2
41
C．y＝－(x＋3)2
4
1
B．y＝－(x－3)2
41
D．y＝(x－3)2
4
(2)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( ) A．f(1)≥25 C．f(1)≤25
解决二次函数图象与性质问题时两个注意点
(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．
1．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．
B．f(1)＝25 D．f(1)>25
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