课时作业16 导数的综合应用
3
1．(2019·天津调研)已知函数y＝x－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于( A )
A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 解析：∵y′＝3x－3， ∴当y′＝0时，x＝±1.
则当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
2
x y′ y ＝2.
(－∞，－1) ＋ －1 0 (－1,1) － 1 0 (1，＋∞) ＋ c＋2 c－2 因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或cm?1?2．已知函数f(x)＝m?x－?－2lnx(m∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，
?x?
x使得f(x0)＜g(x0)成立，则实数m的取值范围是( B )
2??A.?－∞，?
e??
C．(－∞，0]
2??B.?－∞，?
e??
D．(－∞，0)
解析：由题意，不等式f(x)＜g(x)在[1，e]上有解，∴mx＜2lnx在[1，e]上有解，即＜2lnxlnx在[1，e]上有解，令h(x)＝，
mxx1－lnx1
则h′(x)＝，当1≤x≤e时，h′(x)≥0，∴在[1，e]上，h(x)max＝h(e)＝，∴2
xe
m1
2
＜，∴m＜， 2ee
2??∴m的取值范围是?－∞，?，故选B.
e??
3．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝4，则不等式ef(x)＞e＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为( A )
A．(0，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：设g(x)＝ef(x)－e(x∈R)，
则g′(x)＝ef(x)＋ef′(x)－e＝e[f(x)＋f′(x)－1]， 因为f(x)＋f′(x)＞1，
所以f(x)＋f′(x)－1＞0，所以g′(x)＞0， 所以g(x)＝ef(x)－e在定义域上单调递增，
xxxxxxxxxxB．(－∞，0)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
1
因为ef(x)＞e＋3，所以g(x)＞3. 又因为g(0)＝ef(0)－e＝4－1＝3， 所以g(x)＞g(0)，所以x＞0.
4．(2019·福建六校模拟)已知函数f(x)＝(x－a)－3x＋a(a＞0)在[－1，b]上的值域为[－2－2a,0]，则b的取值范围是( A )
A．[0,3] B．[0,2] C．[2,3] D．(－1,3]
解析：由f(x)＝(x－a)－3x＋a， 得f′(x)＝3(x－a)－3，
令f′(x)＝0，得x1＝a－1，x2＝a＋1.
当x∈(－∞，a－1)∪(a＋1，＋∞)时，f′(x)＞0， 当x∈(a－1，a＋1)时，f′(x)＜0，
则f(x)在(－∞，a－1)，(a＋1，＋∞)上为增函数，在(a－1，a＋1)上为减函数． 又f(a＋1)＝－2－2a，
∴要使f(x)＝(x－a)－3x＋a(a＞0)在[－1，b]上的值域为[－2－2a,0]， 则f(－1＋a)＝2－2a≤0，
若2－2a＝0，即a＝1，此时f(－1)＝－4，f(0)＝0，－2－2a＝－4，f(3)＝0，f(2)＝－4.
∴b∈[0,3]；
若2－2a＜0，即a＞1，此时f(－1)＝(－1－a)＋3＋a＝－a－3a－2a＋2，而f(－1)－(－2a－2)＝－a－3a－2a＋2＋2a＋2＝－a－3a＋4＝(1－a)·(a＋2)＜0，
∴不合题意，
∴b的取值范围是[0,3]．故选A.
5．(2019·广东韶关六校联考)对于三次函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝2x－3x1?1??2??99?＋，则g??＋g??＋…＋g??＝( D ) 2?100??100??100?
A．100 99C. 2
132
解析：∵g(x)＝2x－3x＋，
2
∴g′(x)＝6x－6x，g″(x)＝12x－6， 1
由g″(x)＝0，得x＝，
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
2
32
3
3
0
0
xxB．50 D．0
?1??1?3?1?21
又g??＝2×??－3×??＋＝0，
?2??2??2?2
2
?1?∴函数g(x)的图象关于点?，0?对称， ?2?
∴g(x)＋g(1－x)＝0， ∴g?
?1?＋g?2?＋…＋g?99?＝49×0＋g?50?＝g?1?＝0，故选D.
????100??100??2??100??100???????
3
6．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为144cm.
解析：设盒子容积为y cm，盒子的高为x cm，x∈(0,5)． 则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x－52x＋160x， ∴y′＝12x－104x＋160.
20
令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)，
3∴ymax＝6×12×2＝144(cm)．
7．直线x＝t分别与函数f(x)＝e＋1的图象及g(x)＝2x－1的图象相交于点A和点B，则|AB|的最小值为4－2ln2.
解析：由题意得，|AB|＝|e＋1－(2t－1)|＝|e－2t＋2|， 令h(t)＝e－2t＋2，
则h′(t)＝e－2，所以h(t)在(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增， 所以h(t)min＝h(ln2)＝4－2ln2＞0， 即|AB|的最小值是4－2ln2.
8．(2019·佛山质检)定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且不等式f(x)＞－
ttttx3
2
3
2
3
xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点个数为3.
解析：定义在R上的奇函数f(x)满足：
f(0)＝0＝f(3)＝f(－3)，f(－x)＝－f(x)，
当x＞0时，f(x)＞－xf′(x)，即f(x)＋xf′(x)＞0， ∴[xf(x)]′＞0，即h(x)＝xf(x)在x＞0时是增函数， 又h(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)， ∴h(x)＝xf(x)是偶函数，
∴当x＜0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R， 且f(0)＝f(3)＝f(－3)＝0，
可得函数y1＝xf(x)与y2＝－lg|x＋1|的大致图象如图．
由图象可知，函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3.
3
9．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝2e－(x－a)＋3，a∈R. (1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线与x轴平行，求a的值； (2)若x≥0，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2(e－x＋a)，
∵函数f(x)的图象在x＝0处的切线与x轴平行，即在x＝0处的切线的斜率为0， ∴f′(0)＝2(a＋1)＝0，∴a＝－1. (2)由(1)知f′(x)＝2(e－x＋a)，
令h(x)＝2(e－x＋a)(x≥0)，则h′(x)＝2(e－1)≥0， ∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)． ①当a≥－1时，f′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， 即函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)＝5－a≥0，解得－5≤a≤5， 又a≥－1，∴－1≤a≤5.
②当a＜－1时，则存在x0＞0，使h(x0)＝0且当x∈[0，x0)时，h(x)＜0，即f′(x)＜0，则f(x)单调递减，
当x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞0，则f′(x)＞0，即f(x)单调递增，
2
x2
xxxx
令M(x)＝x－e0＜x≤ln3，则M′(x)＝1－e＜0， ∴M(x)在(0，ln3]上单调递减，
则M(x)≥M(ln3)＝ln3－3，M(x)＜M(0)＝－1， ∴ln3－3≤a＜－1. 综上，ln3－3≤a≤5.
故a的取值范围是[ln3－3，5]．
10．(2019·山西康杰中学等四校联考)已知函数f(x)＝x－lnx. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：当x≥1时，
x,xxex＋1fxe＋1
≥e
x－1
；
(3)若f(x)≥(1－m)x＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的值．
1
解：(1)f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－，x∈(0，＋∞)，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，
x＋∞)上单调递增，有极小值f(1)＝1，无极大值．
e
(2)证明：原不等式可化为≥x，
e＋1xe＋1
fxx－1
4
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