题海无涯，备战中考
专题33 最值问题
在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要为以下几种：
1.二次函数的最值公式
2二次函数y?ax?bx?c（a、b、c为常数且a?0）其性质中有
专题知识回顾
b4ac?b2①若a?0当x??时,y有最小值。ymin?；
4a2ab4ac?b2②若a?0当x??时,y有最大值。ymax?。
4a2a2.一次函数的增减性
一次函数y?kx?b(k?0)的自变量x的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大（小）值；但当m?x?n时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大（小）值。 3. 判别式法
根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数,推得??0,进而求出y的取值范围,并由此得出y的最值。 4.构造函数法
“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质
在实数范围内,显然有a?b?k?k,当且仅当a?b?0时,等号成立,即a?b?k的最小值为k。 6. 零点区间讨论法
用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号,然后求出y在各个区间上的最大值,再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解
在不等式x?a中,x?a是最大值,在不等式x?b中,x?b是最小值。 8. “夹逼法”求最值
在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法”。
专题典型题考法及解析
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【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ．
【例题2】（2018江西）如图,AB是⊙O的弦,AB=5,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M、N分别是AB、AC的中点,则MN长的最大值是 ．
【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点
2
C,OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求P点坐标及最大面积的值； （4）若点Q为线段OC上的一动点,问AQ＋明理由．
1QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值；若不存在,请说2yC321-2-1O-1
MA12D
3Bx 专题典型训练题
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1.（2018河南）要使代数式2?3x有意义,则x的（ ） A.最大值为C.最大值为
22 B.最小值为 3333 D.最大值为 222.（2018四川绵阳）不等边三角形?ABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数,那么此高的
最大值可能为________。
3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数,那么a?ab?b?a?2b的最小值为_______。
4.（2018云南）如图,MN是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=40°,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为 ．
22
5.（2018海南）某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大？
时间(天) 售价(元/斤) 销量(斤) 储存和损耗费用(元) 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 80－3x 40＋3x 2120－x 3x－64x＋400 （3）在（2）的条件下,若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元,则第 15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元）,售价每只为P（元）,且R、P与x的关系式分别为R?500?30x,
P?170?2x。
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（1）当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时,可获得最大利润？最大利润是多少？
7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？
x2?x?18.（经典题）求2的最大值与最小值。
x?x?19.（经典题）求代数式x1?x的最大值和最小值。 10.（经典题）求函数y?|x?1|?|x?4|?5的最大值。
11. （2018山东济南）已知x、y为实数,且满足x?y?m?5,xy?ym?mx?3,求实数m最大值与最小值。
12.（2019年黑龙江省大庆市）如图,在Rt△ABC中,∠A＝90°．AB＝8cm,AC＝6cm,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B,A重合的情况）,运动速度为2cm/s,过点D作DE∥BC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x（s）,AE的长为y（cm）． （1）求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时,△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
2
13.（2019年宁夏）如图,在△ABC中,∠A＝90°,AB＝3,AC＝4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点（点M不与
A,B重合）,且MQ⊥BC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时,总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由； （3）当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值．
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本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．
14. （2019广东深圳）如图所示,抛物线y?ax?bx?c过点A（－1,0）,点C（0,3）,且OB=OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D,E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值, （3）点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分,求点P的坐标．
2
15.（2019广西省贵港）已知：?ABC是等腰直角三角形,?BAC?90?,将?ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A?B?C,记旋转角为?,当90????180?时,作A?D?AC,垂足为D,A?D与B?C交于点E．
（1）如图1,当?CA?D?15?时,作?A?EC的平分线EF交BC于点F． ①写出旋转角?的度数； ②求证：EA??EC?EF；
（2）如图2,在（1）的条件下,设P是直线A?D上的一个动点,连接PA,PF,若AB?2,求线段PA?PF的最小值．（结果保留根号）.
16.（2019贵州省安顺市）如图,抛物线y＝
121x+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A,B两点,且此抛物线与22x轴的一个交点为C,连接AC,BC．已知A（0,3）,C（﹣3,0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB﹣MC|的值最大,并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问：是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．
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