圆锥曲线答题精选60题
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抛物线/椭圆直线圆相交相切向量/斜率/角弦长/距离/面积坐标化翻译函数/导数平分/对称/垂直最值/定值不等式
x2y2已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?. 过右焦点F?c,0?的直线l与椭圆C交于A,B两点，过点
aba2F作l的垂线，交直线x?c
于P点，若
PFAB的最小值为
ba，试求椭圆C离心率e的取值范围.
一、谋定而后动
在做解析几何的大题之前，应该先搞清楚整道题的满分道路应该如何走，题目的关键步骤如何处理，只有想清楚了，再去动手才能事半功倍！
按照小呆的理解，在我们浙江的圆锥曲线大题的考察中，主要是以下几类：
那么回过头来看这道题，马上可以发现考察的是弦长，而且是弦长的比值：
PFAB。
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问题来了，如何表达
PFAB？
由弦长公式易得
PF?1?kPF2xP?xF?1?1kPF1kAB22yP?yF
AB?1?kAB2xA?xB?1?对于一个一元二次方程
yA?yB
Ax2?Bx?Cx?0的两个根x1,x2，
??2我们知道韦达定理x1?x2BC,x1?x2? AA2而
x1?x2??x1?x2?C??B??4x1x2?????4??AA?A?
其中这个
x1?x2的一头一尾也记下来，在圆锥曲线中有非常广泛的应用！
直接记住?硬解也可以
如果我们设直线l的斜率为k，则可以通过联立直线l与椭圆，通过韦达定理得到
或者设直线l为x?my?c，求得
xA?xB
yA?yB
上述的两个绝对值都可以用一个未知数k或者m来表示
a2接着，如果已知了直线l，那么直线PF也可以用k或者m来表示，通过将PF与x?c点的坐标
最终一定可以通过上述过程将
联立得到PPFAB用一个未知数k或者m来表示，即
PFAB=f?k?/f?m?
应该是一个分式函数求最值问题
二、择优定法 注意技巧
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在第一步过程中，我们遇到了用
xA?xB还是
yA?yB的问题，这就涉及到两个方面
1、 是否需要对直线的k分类讨论 2、 那种计算看起来更方面
显然的，直线斜率不存在时，
a2?cPF?c2；而直线斜率为0时，则不存在这样子的P
bAB2?a所以考虑设直线l为x?my?c可以避免一小步的分类讨论，聊胜于无
从计算的角度看
x2y2①联立C:2?2?1与x?my?c，y?k?x?c?
ab在计算上x?my?c胜出，毕竟少了到处都在的k
2 ②xP,xF都是已知的，而
yP需要联立来求
综上所属，我们择优而定可以发现
PFAB?1?kPF2xP?xF1?1kAB2yA?yB在计算上会有一定的优势
以上的两个操作过程，并没有严格的递进关系，可以混搭，在心算和草稿[试题卷]上呈现，原则上思考与草稿过程不应该超过5分钟。
接下来就可以在草稿上写上一部分过程啦 设
A?x1,y1?,B?x2,y2?，直线l的斜率显然不为0，设l：x?my?c
?x2y2??2?1联立?a2得 b?x?my?c?此处我们尽量将椭圆方程写成整式b2x2?a2y2?a2b2，然后代入消元即可
整理的过程中，一定要把式子整理成关于
y/x的方程，一定要适当心算，可以节约时间
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?bm22?a2?y2?2b2mcy?b2c2?a2b2?0
2即
?bm2?a2?y2?2b2mcy?b4?0
?2b2mc?y1?y2??b2m2?a2??b4? ?y1?y2?222bm?a?????2b2mc?2?4?b2m2?a2???b4???
之后我们可以很容易发现，韦达定理
y1?y2,y1?y2并不需要，关键的是??？
我们要记住?的计算一定是越算越简单，最高次一定会被约掉，如果约不掉，说明打开方式不对哦！
???2b2mc??4?b2m2?a2??b2c2?a2b2??4?a2b4m2?a2b2c2?a4b2??4a2b4?m2?1?
2
进而我们由弦长公式可得
y1?y2??y1?y2?22?4y1y2?24a2b4?m2?1?bm?a222?2ab22?m22?1?2bm?a
PF=1?kPF2a22bxP?xF=1?m?c?1?mccb2PF1?m2xP?xFb2m2?a2c ???2222AB1?my1?y22ab?m?1?2acm?1b2m2?a2然后我们把式子b2m2?a22acm2?1看作关于m的函数，分式上下是m和2m2?1，
考虑刚好次数为倍次关系，低次换元，设m2?1?t?t?1?
则有
2??c2222222PFb?t?1??a1bt?cb?b2?????t?? AB2act2act2ac?t?????
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