?bm22?a2?y2?2b2mcy?b2c2?a2b2?0
2即
?bm2?a2?y2?2b2mcy?b4?0
?2b2mc?y1?y2??b2m2?a2??b4? ?y1?y2?222bm?a?????2b2mc?2?4?b2m2?a2???b4???
之后我们可以很容易发现,韦达定理
y1?y2,y1?y2并不需要,关键的是???
我们要记住?的计算一定是越算越简单,最高次一定会被约掉,如果约不掉,说明打开方式不对哦!
???2b2mc??4?b2m2?a2??b2c2?a2b2??4?a2b4m2?a2b2c2?a4b2??4a2b4?m2?1?
2
进而我们由弦长公式可得
y1?y2??y1?y2?22?4y1y2?24a2b4?m2?1?bm?a222?2ab22?m22?1?2bm?a
PF=1?kPF2a22bxP?xF=1?m?c?1?mccb2PF1?m2xP?xFb2m2?a2c ???2222AB1?my1?y22ab?m?1?2acm?1b2m2?a2然后我们把式子b2m2?a22acm2?1看作关于m的函数,分式上下是m和2m2?1,
考虑刚好次数为倍次关系,低次换元,设m2?1?t?t?1?
则有
2??c2222222PFb?t?1??a1bt?cb?b2?????t?? AB2act2act2ac?t?????
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三、计算收尾部分
一个完美的打钩函数,这里 我们一定要注意以上所有过程都是 把a,b,c看作常数,把m,t看作是变量的哦!
在这里的求值部分,我们可以采用函数的方法把
?c2?PFAB?b2?b2?2ac?t???g?t?,t??1,???, ??t????来对c2b2与1比大小进行讨论函数的单调性求最小值
也可以采用基本不等式的方式,直接对函数进行反向求值。
考虑到基本不等式一般情况下都不比较巧妙,计算量小,所以优先考虑不等式
c2c2c2由基本不等式t?b2t?2t?b2t?2cb,当且仅当t?b2ct.t?b时取等 ?c2此时AB???PFb22ac?b2?b2?2c?b,切好为要求的最小值
?t????t???2acba?只需满足t?c??1,???即可,由c?1,c2?b2?a2?c2bb
得e2?c21?1a2?2,即椭圆C离心率e的取值范围为??2,1???.
这样我们就做完这道题了,边打草稿边写卷面的过程理论上7、8分钟就应该够啦,无论有多难
已知椭圆C:x2y2a2?b2?1?a?b?0?. 过右焦点F?c,0?的直线l与椭圆C交于A,B两点,过点
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a2F作l的垂线,交直线x?c 【解】设
于P点,若
PFAB的最小值为
b,试求椭圆C离心率e的取值范围. aA?x1,y1?,B?x2,y2?,直线l的斜率显然不为0,设l:x?my?c
?x2y2??2?1222222222联立?a2得?bm?a?y?2bmcy?bc?ab?0 b?x?my?c?2b2mc?b4y1?y2??22,y1?y2?22bm?a2bm?a22
???2b2mc??4?b2m2?a2??b2c2?a2b2??4?a2b4m2?a2b2c2?a4b2??4a2b4?m2?1?
进而我们由弦长公式可得
y1?y2??y1?y2?22?4y1y2?4a2b4?m2?1?bm?a222?2ab22?m22?1?2bm?a
所以
b2222PFbm?ac ???2222AB1?my1?y22ab?m?1?2acm?1b2m2?a2m2?1?t?t?1?,则有
2??c2222222PFb?t?1??a1bt?cb?b2?????t?? AB2act2act2ac?t?????a21?m?cc设c2c2c2222ccbbbt??2t??2.t?时取等 由基本不等式,当且仅当t?ttbtb?c2?PFb2?b2?b2cb??2??t???AB2ac?t?2acba????此时,恰好为要求的最小值
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只需满足tcc???1,???即可,由?1,c2?b2?a2?c2 bbc21?1?,1?. 得e?2?,即椭圆C离心率e的取值范围为?a2?2?2
x2y2??1的右焦点为F,过F的直线y?k?x?2??k?0?交椭圆于P,Q两点,若已知椭圆62PQ的中点为N,O为原点,直线ON交直线x?3于M. (1) 求?MFQ的大小;
yP(2) 求
PQMF的最大值.
ONFMxQ【解】如图,注意到P,Q两点的对称性,求?MFQ的大小, 即求?MFP
又?MFQ+?MFP=?,故猜测?MFQ=下面证明MF
?2,
?PQ.
x1?x2?x???02注意到中点,考虑点差法,设P?x1,y1?,Q?x2,y2?,N?x0,y0?.其中,??y?y1?y20??2
?x12y12??1?11?62?kk???ly??x 由点差法得?PQONON:2233k?x2?y2?1??62则有M1?1??MF?PQ?k?k???k??1?MFQ=,得证, 3,?MFPQ??k?k2?(2)先考虑目标
PQMF的代数表达
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