PQ?1?k2x1?x2?1?21y1?y2k21kMF2
MF?1?kMFxM?xF?1?注意到kMFyM?yF21112，1?2=1?kMF?，则有1?k=1?kMF2kk；注意到
xM?xF=1
1y1?y22PQk==y1?y2故我们选择
2MF1?kMFxM?xF1?
所以联立直线PQ和椭圆是，应当消去x，不妨令直线PQ为x1???my?2,?m??，
k???x?my?222222?m?3y?4my?2?0,??4m?4m?3?2?24m?1? ??????????22?x?3y?61y1?y22PQ?m2?1k?==y1?y2?2?26?2 2MFm?3m?31?kMFxM?xF1?设m2?1t11m?1?t?1,2?2??t?2,\?\2m?3t?2t?22t2??
3.
?
PQ11PQ?26??3，当且仅当m???1时，取到MFkMF22的最大值典例解析：
x2y2??1的右焦点为F，过F的直线y?k?x?2??k?0?交椭圆于P,Q两点，若已知椭圆62PQ的中点为N,O为原点，直线ON交直线x?3于M.
（1）求?MFQ的大小；
（2）求
PQMF的最大值.
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x1?x2?x???02【解】（1）设P?x1,y1?,Q?x2,y2?,N?x0,y0?.其中??y?y1?y20??2
?x12y12??1?11?62?kk???ly??x 由点差法得?PQONON:2233k?x2?y2?1??62则有M1?1??MF?PQ?k?k???k??1?MFQ=，即， 3,?MFPQ??kk2??（2）令直线PQ为x?my?2，其中m?1，联立得到k?x?my?222222?m?3y?4my?2?0,??4m?4m?3?2?24m?1? ??????????22?x?3y?61y1?y22PQ?m2?1k?==y1?y2?2?26?2 2MFm?3m?31?kMFxM?xF1?设m2?1t11m?1?t?1,2?2??t?2,\?\m?3t?2t?222t2??
3.
?
PQ11PQ?26??3，当且仅当m???1时，取到MFkMF22的最大值x2?y2?1的右焦点F作直线l1,l2，直线l1与椭圆分别交于点M,N，直线l2与椭圆例：过椭圆C:2分别交于P,Q，且
uuur2uuur2uuur2uuuur2MP?NQ?NP?MQ，
l1MyPoQNl2求四边形MPNQ的面积S的最小值.
x
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【思路】表面的核心问题有两个 ①
uuur2uuur2uuur2uuuur2MP?NQ?NP?MQ的转化
②SYMPNQ的面积
但实际上，还是“一定两动”模型 [即过一定点，作两条斜率相关的直线]， 过一定点F作两条对称的直线，我们可以考虑
l1:y?k1?x?1?/x?m1y?1，则有l2:y?k2?x?1?/x?m2y?1
考虑到后边的计算量，设直线为x
再考虑求四边形的面积，可以猜测l1则会有面积SYMPNQ
这一部分是套路分,即使下面的式子弄不出来，也不能放弃：
?m1y?1之后联立求MN的长度较好一些，同理可得PQ；
?l2，或者l1,l2成定角?，
?1MN?PQ?sin?2?C:x2?2y2?2222?m?2y?2my?1?0,??2m?4?m12?2???1??8?m12?1? ?????111?l1:x?m1y?1MN=1?myM?yN?1?m
接下来再考虑
21218?m12?1?m12?22m2?1m12?1,同理PQ=222 ?222m2?2m1?2uuur2uuur2uuur2uuuur2MP?NQ?NP?MQ的转化来获得?
1. 可以考虑全部坐标化：M代入得到
?x1,y1?,N?x2,y2?,P?x3,y3?,Q?x4,y4?,
222222?x1?x3?+?y1?y3?+?x2?x4?+?y2?y4?=?x2?x3?+?y2?y3?+?x1?x4?+?y1?y4?哎呀！要不要全展开？
谋定而后动，我们要找的MN,PQ之间的关系，所以应该出现所以移项可以得到… 假装打了很多字
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22
?x1?x2?,?x3?x4?才对
问题是，为什么不直接对原式移项？ 2. 考虑向量的基底运算：
uuur2uuur2uuuur2uuur2MP?NP?MQ?NQ
uuur2uuur2uuuur2uuur2?MP?NP?MQ?NQuuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuuruuur?MP?NP?MP?NP?MQ?NQ?MQ?NQuuuuruuuruuuruuuuruuur?NM?MP?NP?MQ?NQ?0????????
????取MN的中点R,则有
uuuuruuuruuuruuuuruuurNM?MP?NP?MQ?NQ????uuuuruuuruuuruuuuruuur?0?NM?2RP?2RQ?2NM?QP?0
??果然l1?l2，嗯
3. 注意到直线的讨论，无论是斜截式还是横截式，都是不能表达所有直线的
当l1，l2中某条直线斜率不存在时，有SYMPNQ当l1，l2中某条直线斜率都存在时，有
11b2?MN?PQ??2a?2?2 22aSYMPNQ222m12m2??m12?m2??1? m12?1m2?111?MN?PQ??222?222?422222m1?2m2?2m1m2?2?m12?m2??42?t?2 Qm1m2??1,?设m12?m21????1?t?22SYMPNQ?4?4????g?t?在?2,???递增
2t?522t?5????16?SYMPNQ?g?2??，
9
典例解析：
x2?y2?1的右焦点F作直线l1,l2，直线l1与椭圆分别交于点M,N，直线l2与椭例：过椭圆C:2圆分别交于P,Q，且
uuur2uuur2uuur2uuuur2MP?NQ?NP?MQ，
l1MyPol2求四边形MPNQ的面积S的最小值.
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xQN
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