uuuruuur最后就是向量数量积AR?AB的表达
i 直接用坐标吧！
uuuruuuruuuruuuruuurii 拆AR?AB?AF?FR?AB?AF?AB?FR?AB?cos?
??iii 几何？
需要表达线PF与曲线C相交，解交点R的坐标 那么需要直线PF的直线方程：kPF??2?x0等等！
注意到AB:y?uuuruuuruuuruuur所以直接用投影即可！AR?AB?AB?AR?cos?BAR?AB?AF剩下的应该只剩计算了，嗯 不在圆锥曲线模块内，思路略！ 典例解析：
21．已知抛物线C的方程为
x0x?1，kPF?kAB??1 2
x2?4y，
BF为其焦点，过不在抛物线上的一点P作次抛物线的切线PA,PB， A,B为切点，且PA?PB.
（1）求证：直线
AB过定点；
AOPuuuruuur（2）直线PF与曲线C的一个交点为R，求AR?AB的最小值.
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2?x12??x2?Ax,,Bx,【解】设切点?1??2?,P?x0,y0?.
4??4??x2易得kAB?x1?x2,lAB:4y??x1?x2?x?x1x2，对抛物线y=4PA?PB?kPA?kPB?即lAB:y求导得
y'?1x 2x1x2???1?x1x2??4 22??x1?x2?x?1，过定点
4?0,1?
（2）定点
?0,1?恰为焦点F，P在以AB为直径的圆上，取AB中点N
yB?y0??1ABFA?FBy1?y2?2?则有NP?????x1?x2
222x0???2即lAB:y当x0当x0?x0?x?1，又F?0,1?,P?x0,?1? 2FAOPRNx?0时，PF?AB ?0时，kPF??2?x0也有PF?AB
uuuruuuruuuruuurAR?AB?AB?AR?cos?BAR?AB?AFx12x22Qx1x2??4?y1y2???1
44AB?AF??y1?y2?2??y1?1???y1?1???y2?1??y1?1?1?y?3y1?3??y1?0?y1212
设
1?f?x??x2+3x?3???x??x?321??3??x?0?
x?1?333Q??3x21?3?x?123x??3x2?123x?23x??3x?2123x23x?1?3 34当
??3x2,x?271时，取得f?x?的最小值 24
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uuuruuur1所以，当y1=时，有AR?AB2???1?27=f??=. min?2?41139?y，点A(?，)，B(，)，抛物线上的点
2424弦长/面积
1、（本题满分15分）如图，已知抛物线x2P(x，y)(?
13?x?).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. 22（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求
【解】（1）QAP?PQ的最大值.
?13?x???,?，y?x2
?22??kAP11x2?4?4?x?1???1,1?
?112x?x?22y?AP斜率的取值范围为??1,1?.
故直线
综合考虑垂直和弦长的表达式，其中垂直的表达式可以有？ （2）方法一（解析法）：不妨设直线
AP的斜率为k，则xP?k?1 2直线
1?1?AP方程：y?k?x???,k???1,1?
2?4?1?3?9y???x???k?2?4
① 则直线BP方程：
?1?1?y?kx?????2???4联立??y??1?x?3??9???k?2?4?消
1?3k??2?， y得：?k??x?k?2k2?123k?2k?k2?2k?122则xQ??，xA?xQ?? 22k?1k?1 ②由题意
AQ?BQ，则即点Q是以AB为直径的圆与直线AP的另一个交点
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1??5??易得圆的方程为：?x????y???2，
2??4??1?1??1?7222联立直线方程y?k?x???得k?1x?k?2k?1x??k?1???0，
2?4??2?222????2k2?2k?1则xA?xQ?? 2k?1所以
PA?PQ?1?k2xP?xA?1?k2xQ?xP
?1?k2xP?xAxQ?xA??xA?xP?
2??
?k2?2k?1???1?k??k?1????k2?1?k??
????k?1??1?k?
3
①[基本不等式法]
f?k???k?1??1?k?=31?3?3k??k?1??k?1??k?1? 341??1?k?+?k?1?+?k?1?+?k?1??27???= 3?4?16当且仅当
②[函数单调性]设
?3?3k?=?k?1?，k?3127时，有PA?PQ的最大值为 216f?k???k?1??1?k?，则f??k???k?1??2?4k?
2因此
1???1?f?k?在??1,?上单调递增，在?,1?上单调递减
2???2??1?27f?k?max?f????2?16，即
所以PA?PQ的最大值为
27 16方法二（几何法）：易得点Q在以
?15?AB为直径的圆上，设AB的中点为C?,?，
?24?连直线CP交圆与点E,F，则有相交弦定理得：
F2PA?PQ?PE?PF??R?PC??R?PC??R2?PC
B
22??1??25??33?4???x????x?????x4?x2?x?2??4??216????
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CAPQ令
33?13?f?x???x4?x2?x?,x???,?
216?22?f??x???4x3?3x?1???x?1??2x?1?2则
因此
?1??3?f?x?在??,1?上单调递增，在?1,?上单调递减
?2??2?2727，则PA?PQ的最大值为 1616uuuruuur?方法三（向量法）：可以把PQ看作是向量PB在AP上的投影，即PQ?PBcos?BPQ
所以
f?x?max?f?1??uuuruuuruuuruuurPA?PQ?APPBcos?BPQ?AP?PB
1??39?1????x,y?????x,?y?
4??24?2?1??31??9??????x????x???y????y?
2??24??4????
把
33y?x2带入化简得PA?PQ??x4?x2?x? 下同法二.
216已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹.是过点的直线,
是上(不在上)的动点;(Ⅰ)求曲线
的方程;
在上,,轴(如图).
(Ⅱ)求出直线的方程,使得为常数.
本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
1??3??（Ⅰ）解：设N(x，y)为C上的点，则|NP|??x????y??2??8??22，N到直线
y??5的距8
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