2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案
一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线x?3y?2?0的倾斜角是
A.
? ?2?5?6B.
3 C.
3 D.
6 2. 直线l过点P(2,?2)，且与直线x?2y?3?0垂直，则直线l的方程为 A. 2x?y?2?0 B. 2x?y?6?0
C. x?2y?6?0
D. x?2y?5?0
3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12?, 则该几何体的体积是
A. 4? B. 12?
C. 16?
D. 48?
4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m∥平面?,直线n??内,那么m∥n;
B. 如果平面?内的两条直线都平行于平面?，那么平面?∥平面?
C. 如果平面?外的一条直线m垂直于平面?内的两条相交直线，那么m??
D. 如果平面??平面?，任取直线m??，那么必有m?? 5.
“m?1”是“直线(m?2)x?3my?1?0与直线(m?2)x?(m?2)y?3?0相互垂直”的（A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
） 6. 方程x?2ax?y?0(a?0)表示的圆
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于直线y?x轴对称 7.
如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为
D. 关于直线y??x轴对称
22A. 0? C. 60?
B. 45? D. 90?
x2?y2?1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是 8. 如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆2
A.(??,?2] 2B.[2,??) 2C.[?,]
1122D. [?22,] 22二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
x2y2??1，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为9. 已知双曲线的标准方程为
416_________________.
10. 如果直线3ax?y?1?0与直线(1?2a)x?ay?1?0平行.那么a等于________. 11.给出下列命题
(1)命题p：;菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p?q是假命题 (2)命题“若x?4x?3?0，则x?3”的逆否命题为真命题 (3)“1?x?3”是“x?4x?3?0”的必要不充分条件
(4)若命题p：?x?R,x?4x?5?0，则?p：?x0?R,x0?4x0?5?0.
其中叙述正确的是________.(填上所有正确命题的序号)
222212. 直线2x?3y?6?0与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线y??8x上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.
14. 已知点A(2,0)，点B(0,3)，点C在圆x?y?1上，当?ABC的面积最小时，点C的坐标为________.
222三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题共13分）
如图，在三棱锥A?BCD中，AB?平面BCD，BC?CD，E，F,G分别是AC，AD,BC的中点.
求证：（I）AB∥平面EFG;
（II）平面EFG?平面ABC.
16. （本小题共13分）
22已知斜率为2的直线l被圆x?y?14y?24?0所截得的弦长为45,
求直线l的方程.
17. （本小题共14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAB?平面ABCD，AB∥CD，AB?AD，CD?2AB，
E为PA的中点,M在PD上.
（I） 求证：AD?PB； （II）若
PM??,则当?为何值时, PD平面BEM?平面PAB?
（III）在（II）的条件下,求证：PC∥平面BEM.
18.（本小题共
13
分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中,侧棱垂直于底
面,AB?BC,AA1?AC?2,AB?3,E,F分别是A1C1,AB的中点.
（I） 求证：平面BCE?平面A1ABB1; （II） 求证EF ∥平面B1BCC1; （III）求四棱锥B?A1ACC1的体积.
19. （本小题共13分）
2
已知斜率为1的直线l经过抛物线y?2px(p?0)的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，
AB?4.
（I） 求p的值；
（II） 若经过点D(?2,?1),斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点,求k的取值范围.
20. （本小题共14分）
x2y23已知椭圆G:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F,离心率为，过点M(0,1)且与x轴平行的直线
3ab被椭圆G截得的线段长为6. （I） 求椭圆G的方程；
（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于2,求直线OP(O是坐标原点)的
斜率的取值范围.
一、ABB C BA CD
二、9.（±25,0），y??2x
10.
1 3 11. (4)
12. 3
13. (-4,?42)
14. （
313213，） 1313说明：1.第9题，答对一个空给3分。 2.每个空正负只写对一个的给2分。 三、
15.证明（I）在三棱锥A-BCD中，E，G分别是AC，BC的中点.
所以AB∥EG………………………………………………………………3分 因为EG?平面EFG，AB?平面EFG
所以AB∥平面EFG………………………………………………………5分 （II）因为AB⊥平面BCD，CD?平面BCD
所以AB⊥CD………………………………………………………………7分 又BC⊥CD且AB∩BC=B
所以CD⊥平面ABC………………………………………………………10分 又E，F,分别是AC，AD,的中点
所以,CD∥EF
所以EF⊥平面ABC………………………………………………………12分
又EF?平面EFG,
所以,平面平面EFG?平面ABC.……………………………………………13分
16.解将圆的方程写成标准形式,得 x?(y?7)?25,
所以,圆心坐标是(0,-7),半径长r=5. ……………………………………3分 因为直线l被圆所截得的弦长是45， 所以，弦心距为52?(22452)?5， 2即圆心到所求直线l的距离为5. ……………………………………6分 因为直线l的斜率为2,所以可设所求直线l的方程为y?2x?b, 即2x?y?b?0.
所以圆心到直线l的距离为d?7?b5, ……………………………………9分
因此,
7?b5?5
解得b??2,或b??12. ……………………………………11分 所以,所求直线l的方程为y?2x?2,或y?2x?12.
即2x?y?2?0,或2x?y?12?0. …………………………………13分
17（I）证明：因为平面PAB?平面ABCD,AB?AD,平面PAB?平面ABCD=AB, 所以,AD?平面PAB. ……………………………………2分 又PB?平面PAB,
所以, AD?PB. ……………………………………4分
（II）解：由（I）可知, AD?平面PAB,又E为PA的中点, 当M为PD的中点时,EM∥AD,
所以,EM? 平面PAB, ……………………………7分 因为EM?平面BEM, 所以, 平面BEM?平面PAB. 此时,??
1
. ………………………………9分 2
（III）设
CD的中点为F，连接BF，FM
由（II）可知，M为PD的中点. 所以,FM∥PC. 由题可知AB∥
即AB∥FD. 所以FM∥AB
所以ABFD为平行四边形.……………………………………………………11分 所以AD∥BF…………………………………………………………………12分 又EM∥AD 所以,EM∥BF. 所以, BEMF共面. 所以，FM?平面BEM， 又PC?平面BEM,
18. （I）证明在三棱柱ABC?A1B1C1中,BB1?底面ABC, 所以, BB1?BC.
又因为AB?BC且AB?BB1?B,
所以PC∥平面BEM…………………………………………………………14分
1CD, 2所以,BC?平面A1ABB1. ……………………………………3分 因为BC?平面BCE,
所以, 平面BCE?平面A1ABB1. ……………………………………4分
（II）证明取BC的中点D,连接C1D,FD. 因为E,F分别是A1C1,AB的中点, 所以,FD∥AC且FD?
1AC. ……………………………………5分 2因为AC∥A1C1且AC?A1C1,
所以,FD∥EC1且 FD?EC1. ……………………………………6分 所以,四边形FDC1E 是平行四边形. ……………………………………7分 所以,EF∥C1D.
又因为C1D?平面B1BCC1,EF?平面B1BCC1,
所以, EF ∥平面B1BCC1. ……………………………………9分 （III）解 因为AA1?AC?2,AB?所以,BC?3,AB?BC
AC2?AB2?1.
AB?BC3?.
AC2过点B作BG?AC于点G,则BG?因为,在三棱柱ABC?A1B1C1中,AA1?底面ABC,AA1?平面A1ACC1 所以,平面A1ACC1?底面ABC. 所以, BG?平面A1ACC1. 所以,四棱锥B?A1ACC1的体积V?11323AA1?AC?BG??2?2??. 3323 …………………………………13分
19.（I）由题意可知，抛物线y?2px(p?0)的焦点坐标为F(2pp,0)，准线方程为x??. 22所以,直线l的方程为y?x?p………………………………………2分 2
p?y?x??由?2消y并整理，得 ?y2?2px?
p2x?3px??0………………………………………………………3分
42设A(x1,y1)，B(x2,y2) 则x1?x2?3p，
又AB?AF?BF?x1?x2?p?4 ,
所以,3p?p?4,p?1 …………………6分 （II）由（I）可知,抛物线的方程为y?2x.
由题意,直线m的方程为y?kx?(2k?1). ……………………………………7分
2?y?kx?(2k?1),由方程组?2 (1)
?y?2x,可得 ky?2y?4k?2?0 (2) ……………………………………8分 当k?0时，由方程（2），得 y??1. 把y??1代入y?2x,得 x?221. 212这时. 直线m与抛物线只有一个公共点(,?1). ……………………………………9分 当k?0时,方程(2)得判别式为??4?4k(4k?2). 由??0, 即4?4k(4k?2)?0, 亦即4k?2k?1?0. 解得
21?51?5?k?. 44于是,当
1?51?5?k?且k?0时,方程(2)有两个不同的实根,从而方程组(1)有两组不同的解,这时, 44直线m与抛物线有两个不同的公共点, ……………………………………12分 因此,所求m的取值范围是(
1?51?5,0)?(0,). …………………………………13分 4420.解（I）由已知,点(63,1)在椭圆G上, 又离心率为， 231?3??2a2b2?1???a?3,?222因此?a?b?c,解得?
???b?2.c3???3?ax2y2??1. ……………………………………4分 所以椭圆G的方程为32x2y2??1.所以,点F的坐标为(-1,0). （II）由（I）可知, 椭圆G的方程为32设点P的坐标为(x0,y0)(x0??1,x0?0)，直线FP的斜率为k, 则直线FP的方程为y?k(x?1),
?y0?k(x0?1),?222由方程组?x2y2 消去y0, 并整理得2x0?3k(x0?1)?6.
0?0?1,?2?36?2x023?2又由已知,得k?,解得??x0??1或?1?x0?0. 23(x0?1)2……………………………………8分
设直线OP的斜率为m,则直线OP的方程为y?mx.
?y0?mx0,22?2由方程组?x2y2 消去y0, 并整理得m?2?.
0x03?0?1,?2?3……………………………………9分
(1)当x0?(?y3,?1)时，有y0?k(x0?1)?0，因此，m?0?0，
x02于是，m?22223m?(,). ，得?233x03y0?0, x0(2) 当x0?(?1,0)时，有y0?k(x0?1)?0，因此，m?于是，m??2223m?(??,?). ……………………………………13分 ?，得23x0323223)?(,). 333综上, 直线OP的斜率的取值范围是(??,? …………………………………14分
2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案
一、选择题(本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．)
1．程序框图中表示计算的是( )． A．
B．
C．
D．
2．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是( ) A．
1 100B．
1 25C．
1 5D．
1 43．给出以下一个算法的程序框图(如图所示)，该程序框图的功能是( ) A．求输出a,b,c三数的最大数 B．求输出a,b,c三数的最小数 C．将a,b,c按从小到大排列 D．将a,b,c按从大到小排列
???1??4．已知向量a??8,x,x?，b??x,1,2?，其中x?0．若a//b，则x的值为( )
?2??
A．8 B．4 C．2 D．0
5．当a?3时，右面的程序段输出的结果是( ) A．9 C．10
B．3 D．6
6．下列说法中，正确的个数是( )
(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
(2)与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变． (4)一个样本的方差s?21?x1?3?2??x2?3?2????xn?3?2，则这组数据的总和等于60． 2022??(5)数据a1,a2,a3,...,an的方差为?，则数据2a1,2a2,2a3,...,2an的方差为4? A．5
B．4
''''C．3
''D．2
????????7．已知正方体ABCD?ABCD中，点
F是侧面CDDC的中心，若AF?AD?xAB?yAA'，则
x?y等于( )
A．0 1C． 2
B．1 1D．－ 2
8．如图是一次考试成绩的样本频率分布直方图(样本容量n＝200)，若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是( ) A．6 C．60
B．36 D．120
→1→→→
9．已知ABCD是四面体，O是△BCD内一点，则AO＝(AB＋AC＋AD)是O
3
为△BCD重心的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
?10．已知向量n??1,0,?1?与平面?垂直，且?经过点A?2,3,1?，则点P?4,3,2?到?的距离为( )
A．332
2
B．2
C．
22
D．
2
11．图1是某县参加某年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、
A2、…、Am(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图1中身高在一定
范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )
A．i?9 B．i?8 C．i?7 D．i?6
A．0.36 B．0.18 C．0.62
D．0.38
二、填空题(本大题共有4个小题，每小题5分，共20分)
13．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘
内捞出50条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有_________条鱼．
14．已知A?2,-5,1?,B?2,?2,4?,C?1,?4,1?????，则AC与AB的夹角为______
????15．设O为坐标原点，向量OA??1,2,3?,OB??2,1,1?,OP??
??1,1,2?,点Q在直线OP
????上运动，则当QA?QB取最小值时，点Q的坐标为______
16．把求s?1?2?3???100的值的算法程序补充完整①___;②_____ 三、解答题(本大题共有6个小题，共70分)
17．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将
数据分组如右表：
(1)根据表格将频率分布直方图补全；
(注：横轴纤度间距0.04，最小是1.30，最大是1.54)
(2)估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.42的概率是多少？ (3)从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．
分组 频数
[1.30，1.34) 4 [1.34，1.38) 25 [1.381.42)， 30 [1.42，1.46) 29 [1.46，1.50) 10 [1.50，1.54)
18．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)
(1)求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标．
合计 2 100 19．为了调查甲、乙两个站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00—10：
00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图： (1)甲、乙两个站点击量的极差分别是多少？
(2)甲站点击量在[10，40]间的频率是多少？乙站点击量的众数是多少？ (3)甲、乙两个站哪个更受欢迎？并说明理由．
20．如图，已知斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC?A1B1C1的侧面
A1ACC1与底面
ABC垂直，
BC?2,AC?23,AB?22，AA1?AC?6． 1(Ⅰ)设AC的中点为D，证明A1D?底面ABC； (Ⅱ)求异面直线A1C与AB成角的余弦值；
21．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2AD,AD⊥DC,∠BCD
＝45°．
(1)设PD的中点为M，求证：AM//平面PBC； (2)求PA与平面PBC所成角的正弦值．
22．如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1D?平面
ABCD，底面
ABCD是边长为的正方形，侧棱AA1?2．
(1)求三棱锥C?A1B1C1的体积；
(2)若棱AA1上存在一点P，使得AP??PA1，当二
面
角
A?B1C1?P的大小为30?时，求实数?的值．
2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案
本试卷分模块测试和能力测试两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卷的密封线内。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷一并收回。 参考公式：
21．S圆锥表面积?S底面?S侧面??r底面??r底面l母线
2．V锥?1S底面h 3?x??a??b?的3．设具有线性相关关系的两个变量x,y的一组观察值为(xi,yj)(i?1,2,?,n)，则回归直线ynn?xiyi?nx?y?(xi?x)(yi?y)???i?1??i?1n?b?222系数为：? (x?x)x?nx?i?i?i?1??x???y?b?a 第一部分 模块测试题（共100分） 一. 选择题 （每题5分 共50分） 1．下列说法中正确的是 （ ）
A．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．一个棱锥至少有四个面
D．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 2．若直线上有两个点在平面外，则 （ ） ．．． A．直线上至少有一个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
那么完成上述两项调查应采用的最合适的抽样方法是 ( )
B．直线上有无穷多个点在平面内 D．直线上至多有一个点在平面内
A．①用随机抽样，②用系统抽样 B．①用分层抽样，②用随机抽样 C．①用系统抽样，②用分层抽样 D．①用随机抽样，②用分层抽样 5．下列说法正确的是 ( )
A．对立事件也是互斥事件 B．某事件发生的概率为1.1
C．不能同时发生的的两个事件是两个对立事件 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 6．下列判断正确的是 ( )
A．若a//?,b//?,?//?,则a//b B．a??,b??,???,则a⊥b C．若a??,b??,a//b，则?//? D．若m??,m?n，则n//? 7．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是 ( ) A．1cm3 B．2cm3 C．3cm3 D．6cm3
8．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ( ) A．
1112 B． C． D． 1218721位：台）
1 2 3
7 1 0
8 2 1
2 3
D 6
E 9
C ( )
9．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单的茎叶图，则数据落在区间[20,30）内的概率为 A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
10．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在
矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 ( )
1112A． B． C． D．
4323二、填空题 （每题5分 共20分）
A B 11．已知一组数据为-2，0，4，x，y，6,15，且这组数据的众数为6，平均数为5，则这组数的中位数为_____________.
12．某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元），有如下表所示的统计资料：
使用年限x（年） 维修费用y（万元） 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 由资料知y对x呈线性相关关系，则其回归直线方程y=bx+a为________________ (其中
2?2.2?3?3.8?4?5.5?5?6.5?6?7.0?112.3）
13．给出下列四个命题：
①设?是平面，m、n是两条直线，如果m??,n??，m、n两直线无公共点，那么n//?.
②设?是一个平面，m、n是两条直线，如果m//?,n//?，则m//n..
D A B C A1 D1 B1 C1
③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行.
④三条直线交于一点，则它们最多可以确定3个平面.其中正确的命题是________ 14．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， B1C与BD所成角为 _________. 三、解答题 （每题10分 共30分）
15．(10分) 如图，三棱锥A-BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，H、G分别是棱AD、CD上的点，且EH?FG?K.
求证：（1）EH，BD，FG三条直线相交于同一点; （2）EF//HG.
16．（10分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩（单位：秒）全部介于13与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩一个在第一组，一个在第五组的概率. 17．(10分) 如图，母线长为2的圆锥PO中，已知
0.38 0.32
B
F E H D G C K
A 频率组距14 0.20 0.06 0.04
0 1314 15 16 17 18 成绩/秒
频率组 距AB是半径为1的⊙O的直径，点C在AB弧上， D为AC的中点．
P （1）求圆锥PO的表面积； （2）证明：平面ACP⊥平面POD.
第二部分 能力测试（共50分） 18．“m?1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂2D C O D1 B C1 B1 直”
的_____________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、A “既不充分也不必要”）
19．如图，已知E，F，M，N分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1
的棱AB、BC、CC1、A1B1的中点，则三棱锥N-EFM的体积为_____________
D
A E
A1 N M 1?1?20．(13分) 数列{an} 中a1＝，前n项和Sn满足Sn?1-Sn＝??3?3?（n?N*）．
（1）求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；^ S*5U..C#O^S*5U#O^S*5U.CC#O（2）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值。
n?1C B
F
21．(13分)如图所示的几何体中，AB⊥平面ACD,DE⊥
平面ACD,?ACD为等边三角形，AD=2AB,CE与平面ACD所成角为45°，F、H分别为CD、DE中点.
求证：平面BCE//平面AHF
22.（14分）已知椭圆C的焦点在x轴，，中心在原
点，离心率e=
C
F A B
E H
D 3，直线ly=x+6与以原点为3圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆O相切. （1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A,B，点M是椭圆上异于A,B的任一点，设直线MA，MB的斜率分别
为kMA,kMB，证明：kMA?kMB为定值.
参考答案与评分标准
一、选择题（每题5分 共50分）C D D B A B A A C C 二、填空题（每题5分 共30分）
11、6； 12、y=1.23x+0.08； 13、③④； 14、60°,1 18、充分不必要； 19、三、解答题
15、（10分）证明：（1）∵E、H分别是棱AB、AD上的点，∴EH?平面ABD-------1’ 又∵EH∩FG=,∴∈EH，即∈平面ABD-------2’ 同理可证，∈平面BCD--------3’
∵平面ABD∩平面BCD=BD ∴∈BD-----4’ 即EH，BD，FG三条直线相交于同一点.---------5’
（2）连接EF，HG(如图)，∵在⊿ABC中，E，F分别是棱AB，BC的中点， ∴EF//AC--------6’
∵EF?平面ACD，-----7’∴EF//平面ACD-----8’ 又∵H，G分别是棱AD，CD的点，且EH?FG?K, E ∴E，F，G，H，共面于平面EF, 且平面EF∩平面ACD=HG-------9’ 故EF//HG------10’
16、（10分）解：由频率分布直方图知
B
F C H D G K A 1 3成绩在第一组[13,14)的人数为50×0.06=3人，设这3人的成绩分别为a,b,c.------1’ 成绩在第五组[17,18]的人数为50×0.04=2人，设这2人的成绩分别为x,y.------2’ 用(m,n)表示从第一、五组随机取出两个成绩的基本事件，
当m,n∈[13,14)时，有（a,b）,(a,c),(b,c),共3种情况------4’ 当m,n∈[17,18]时，有(x,y)1种情况--------6’
当m,n分别在[13,14)和[17,18]时，有(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),共6种情况，-------8’ 所以基本事件总数为10，所求事件所包含的基本事件数为6-------9’ 所以，所求事件的概率为P=
17、（10分）（1）解：由已知 S圆锥表63?------10’ 105?S圆锥侧?S圆锥底??r圆锥底PA??r2圆--------1’ 锥底 ?2????3?-----------3’
（2）连接OC，在⊿AOC中，’因为OA?OC,D是AC的中点,所以AC?OD.-------5’
又PO?底面?O，AC?底面?O,所以AC?OP,-------6’ DO、PO是平面POD内的两条相交直线，-------7’ 所以AC?平面PO;D----8’
又∵AC?平面ACP，---------9’ ∴平面ACP⊥平面POD------10’
s5u
20、（13分）解：（1）由已知，∵n≥2时，an?Sn?Sn?1n?1????------2’ ?3?nn1?1??1? 又当n=1时，a1????-------3’ ∴an???-------4’
3?3??3? 故数列?an?是以
11为首项，为公比的等比数列，--------5’ 故其前n项和 3311(1?)na1(1?qn)33Sn??11?q1?
311?(1?n)???????7'23-------6’ s5u
(2) 若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，则2t(S1?S2)?S1?3(S2?S3)------8’ 即2t[(1?)? 即
21、（13分）证明：∵ DE⊥平面ACD ∴∠ECD等于CE与平面ACD所成角，
121311111111(1?2)]?(1?)?3[(1?2)?(1?3)]-----10’ 2232233314t28?------11’ 得t=2-------12’，故所求实数t为2------13’ 99即∠ECD=45°--------2’ ∴RT⊿CDE是以∠EDC为直角的等腰直角三角形，------4’又
∵?ACD为等边三角形，∴AC=CD=DA=DE----5’
B
由AD=2AB?AB?12DE------6’
由AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD可知AB//DE-----7’
∵H为DE中点，且AD=DE，AB//DE
A ∴AB=
12AD=12DE=HE,且AB//HE-------9’ ∴在四边形ABEH中，BE//AH-----10’
C
又AH?平面BCE,∴AH//平面BCE-------11’
F
又∵在⊿CDE中，F、H分别为CD、ED中点， ∴HF//EC,由HF?平面BCE,EC?平面BCE ∴HF//平面BCE------12’
∵HF∩AH=H,AH?平面AHF,HF?平面AHF ∴平面BCE//平面AHF-----13’
22、（14分）（1）解：由已知，a?0?0?612?12?3，-------2’
又由e?ca?33得a?3,c?1------4’ ∴b2?a2?c2?2-----5’ ∴椭圆C的方程为x2y23?2?1--------6’ （2）证明：由椭圆方程得A(-3,0),B(3,0)-----7’
设M点坐标为?x,yx22000?，则3?y02?1?y2220?3(3?x0)-----9’ 则 kMA?y0x,k0MB?y0?3x------11’ s5u
0?322(3?x2?k?y0MA?kMB30)2x2?3?x2??------13’ ∴kMA?kMB为定值------14’
00?33
E H
D
2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案
（必修5、选修2-1）
说明：1．本试卷共4页，考试时间为120分钟，满分150分；
2．各题均在答题卷指定位置上作答，否则无效；考试结束时，只交回答题卷．
第Ⅰ卷（选择题部分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上)
1．已知a，b，c分别是?ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A?45?，B?60?，b?3，则
a等于
A．2 B．6 C．
2 D．1 2x2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE?AA1?xAB?yAD，则，y的值是 A．x?C．x?
11
，y? 221
，y?1 2
B．x?1，y?
1 2
D．x?1，y?1
3．已知两点F1(?1,0)，F2(1,0)，且F1F2是PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是 1与PF
x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B．??1 C．??1 D．??1 A．169161243344．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9?2a5，a2?2，则a1? A．
5．双曲线3x?y?3的渐近线方程是 A．y??3x B． y??22221 B． C．2 D．2
221x C．y??3x 3 D．y??3x 3?y?0?6．设变量x，y满足约束条件?x?y?1?0，则z?2x?y的最大值为
??x?y?3?0A． 8
B．6
C．4
D．?2
7．下列命题错误的是 ．．
A．命题“若m?0，则方程x?x?m?0有实数根”的逆否命题是“若方程x?x?m?0没有实数
根，则m?0”；
22B．“x?1”是“x?3x?2?0”的充分不必要条件；
C．命题“若xy?0，则x，y中至少有一个为零”的否命题是“若xy?0，则x，y中至多有一个为
零”；
D．对于命题p：?x?R，使得x?x?1?0；则?p：?x?R，均有x?x?1?0．
8．甲、乙两人同时从图书馆走向教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行、跑步的速度一样，则先到教室的是
A．甲 B．乙 C．甲、乙同时到达 D．无法确定
222第Ⅱ卷（非选择题部分）
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上)
9．若关于x的不等式x?4x?a?0的解集是空集，则实数a的取值范围是 ．
10．?ABC中，
22D在边BC上，且BD?2，DC?1，?B?60?，?ADC?150?，则AC的长等
于 ．
11．已知Sn是等差数列?an?的前n项和， 且a1?a3?a5?6，则S5? ．
x2y214??1有共同的焦点，且它们的离心率之和为，则双曲线C的方程12．已知双曲线C与椭圆
9255是 ．
13．过抛物线x?2py(p?0)的焦点F作倾斜角为30?的直线与抛物线分别交于A，B两点（A在y轴左侧），则
2AFBF? ．
x?2y的最小值为 ． xy14．若正数x，y满足2x?y?1?0，则
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．(本小题满分12分)
已知a，b，c分别是?ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c?a?b?ab． (1)求角C的值；
(2)若b?2，?ABC的面积S?
16．（本小题满分12分）
已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1?1，且a3是a1和a9的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式；
22233，求a的值． 2(2)设数列{an}的前n项和为Sn，f(n)?的最大值．
17．（本小题满分14分）
Sn，试问当n为何值时，f(n)最大？并求出f(n)(n?18)Sn?1在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?1，?BAC?90，异面直线A1B与B1C1所成的角等于
0600，设AA1?a．
(1)求a的值；
(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．
18．（本小题满分14分）
设a?R，解关于x的不等式ax?(1?2a)x?2?0．
19．（本小题满分14分）
设数列?an?的前n项和为Sn，q?0，q?1．证明：数列?an?是公比为q的等比数列的充要条件是
2A1 B1 C1 A B B C a1(1?qn)Sn?．
1?q
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B在直线l：x??1上运动，过点B与l垂直的直线和线段
AB的垂直平分线相交于点M．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)过(1)中的轨迹E上的定点P(x0,y0)(y0?0)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1,y1)，
D(x2,y2)两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？
若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
一、选择题(每小题5分，共40分) AACD CBCB
二、填空题(每小题5分，共30分)
y2x2??1 9．???,?2???2,??? 10．7 11．10 12．
41213．
13 14．9 三、解答题
15．解：(1)∵c2?a2?b2?ab
∴cosC?a2?b2?c22ab?ab2ab?12 ………4分 ∴C?60? ………6分 (2)由S?12absinC?332及b?2，C?60? 得 12?2asin60??332 ………10分 解得 a?3 ………12分
16．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a3?1?2da9?1?8d ………2分
∵a3是a1和a9的等比中项
∴a223?a1?a9，即(1?2d)?1?(1?8d) ………3分 ∵d?0
∴d?1 ………4分 ∴an?1?(n?1)?1?n ………5分 (2)由(1)可得a(1?n)n?n，Snn?2 ………6分 ∴f(n)?S(n?18n)S
n?1n(1?n)?2(n?18)(n?1)(n?2) 2?1 n?36 ………8分
n?20?112?20
?132 ………10分 当且仅当n?36n，即n?6时，f(n)取得最大值132． ………12分 17．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，（a?0） ………1分
∴B1C1?(?1,1,0)，A1B?(1,0,?a) ∴ B1C1?A1B??1 ………3分
A1(0,0,a)∵异面直线A1B与B1C1所成的角60
0∴A1B?B1C1A1B?B1C1?cos60? 即
?11?a2?2?1 ………5分 2又a?0，所以 a?1 ………6分
B A C B1 z A1 C1 y x (2)设平面A1BC1的一个法向量为n?(x,y,z)，则
n?A1B，n?A1C1，即n?A1B?0且n?A1C1?0
又A1B?(1,0,?1)，A1C1?(0,1,0) ∴??x?z?0，不妨取n?(1,0,1) ………8分
?y?0同理得平面BB1C1的一个法向量m?(1,1,0) ………10分 设m与n的夹角为?，则cos????m?nm?n?12?2?1 ………12分 2∴??60 ………13分 ∴平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60 ……14分
18．解：(1)若a?0，则不等式化为x?2?0，解得x?2 ………2分
(2)若a?0，则方程的两根分别为2和?①当a??②当a??③当?001 ………4分 a11时，解不等式得??x?2 ………6分 2a1时，不等式的解集为? ………8分 211?a?0时，解不等式得2?x?? ………10分 2a1或x?2 ………12分 a④当a?0时，解不等式得x??综上所述，当a??11时，不等式的解集为?x??x?2?； 2a当a??当?1时，不等式的解集为?； 211?a?0时，不等式的解集为?x2?x??2a?；
当a?0时，不等式的解集为xx?2当a?0时，不等式的解集为xx??19．证明：(1)必要性：
∵数列?an?是公比为q的等比数列 ∴Sn?a1?a2?a3???an
??；
1x?2? ………14分 a??a1(1?q?q2???qn?1) ………① ………2分
①式两边同乘q，得
qSn?a1(q?q2?q3???qn) ………② ………4分
① - ②，得
(1?q)Sn?a1(1?qn) ………6分
∵q?1
a1(1?qn)∴Sn? ………7分
1?q(2)充分性：
a1(1?qn)a1(1?qn?1)(n?2) ………8分 由Sn?，得 Sn?1?1?q1?qa1(1?qn)a1(1?qn?1)??a1qn?1 ∴Sn?Sn?1?1?q1?q即an?a1qn?1(n?2) ………10分
∵a1也适合上式
n?1∴an?q ………12分
∵q?0
anqn?1∴当n?2时，??q
an?1qn?2∴数列?an?是公比为q的等比数列 ………14分
20．解：(1)依题意，得MA?MB ………1分
∴动点M的轨迹E是以A(1,0)为焦点，直线l:x??1为准线的抛物线 ………3分 ∴动点M的轨迹E的方程为y?4x ………4分
2(2)∵P(x0,y0)、C(x1,y1)，D(x2,y2)在抛物线y?4x上
2?y02?4x0……① ??2∴ ?y1?4x1 ………5分
……② ?2??y2?4x2……③
由①-②得，(y0?y1)(y0?y1)?4(x0?x1)
∴直线PC的斜率为kPC?y0?y14? ………7分
x0?x1y0?y1同理可得，直线PD的斜率为kPD?4 ………9分
y0?y2∴当直线PC，PD的倾斜角互补时，有kPC??kPD 即
44??
y0?y1y0?y2∴y1?y2??2y0 ………11分 由②-③得，(y1?y2)(y1?y2)?4(x1?x2) ∴直线CD的斜率为kCD?y1?y24? ……④ ………13分
x1?x2y1?y2将y1?y2??2y0代入④，得 kCD??2 y0∴当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率为定值
?2 ………14分 y0
2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1．命题“?x?R，?a?R，使得n?|x?1|?|x?2|”的否定形式是（ ） A．?x?R，?a?R，使得n?|x?1|?|x?2| B．?x?R，?a?R，使得n?|x?1|?|x?2| C．?x?R，?a?R，使得n?|x?1|?|x?2| D．?x?R，?a?R，使得n?|x?1|?|x?2| 2．在复平面内，复数z?1?i2018对应的点位于（ ） 2?i A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：
广告费[] 销售额 2 29 3 41 4 50 5 59 6 71 由上表可得回归方程为A.
B.
2，据此模型，预测广告费为
C.
D.
万元时的销售额约为（ ）
y2?1有同渐近线的双曲线方程是（ ） 4．经过点(2,?4)且与双曲线x?2y2x2??1 A．84x2y2x2y2y2x2??1 C．??1 D．??1 B．844848P(2≥k0) 0.100 2.706 41 C. 99% 50 3.824 0.025 5.035 0.010 6.628 0.01 10.80.00k0 A. 0.1%
B. 1% D. 99.9% 6. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ( ) A.
5 6B.
2 3 C.
4 5 D.
1 27. 在下列结论中，正确的结论为（ ）
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件 ②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件 ③“p或q”为真是“?p”为假的必要不充分条件 ④“?p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件 A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
8. 已知函数f(x)的导函数为f?(x)，且满足f(x)?lnx?xf?(1)，则f?(1)?（ ） A． ?e
B． e C． ?1
D． 1
29．若关于x的不等式|x?2|?|x?a|?4的解集为R，则实数a的取值范围为（ ） A．(??,?6)(2,??) B．(?6,2) C．(??,?6)(?2,??) D． (?6,?2)
2aba2b2?a?b?10．若a，b是常数，a>0，b>0，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则，当且仅当＝时取等??xyxyx?y号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝A. 5
B. 15
341 (0 D. 2 C. 25 11．若关于x的不等式k|x|?|x?2|?0恰好有4个整数解，则实数k的取值范围是（ ） A．(,) 3253 B．(,] C．(,1) 325335 D．(,1] 3512．已知函数f?x?是定义在?0,???的可导函数, f'?x?为其导函数，当x?0且x?1 时, 2f?x??xf'?x?x?1A．??0,若曲线y?f?x?在x?1处的切线的斜率为?1,则 f?1??（ ） B．0 C． 1 21 2 D．1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知a，b?R，i是虚数单位，若a?2i?1?bi，则复数z?a?bi的模|z|? ； 14．已知函数f?x??x?3x，若过点M?3,t?可作曲线y?f?x?的三条切线，则实数t的取值范围是 3__________. 15．点?x0,y0?到直线Ax?By?C?0的距离公式为d?Ax0?By0?CA?B22，通过类比的方法，可求得：在 空间中，点?0,1,3?到平面x?2y?3z?3?0的距离为__________． 16．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则e1e2的最小值为 ； 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x?4cosa?2 (a为参数），以O为极点，以x轴的 y?4sina非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为??（1）求曲线C的极坐标方程； （2）设直线l与曲线C相交于A,B两点，求AB的值. ?6???R?. 18．（本小题满分12分） 已知函数f?x??x?a?a. （1）若不等式f?x??2的解集为{x|1?x?2}，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数n使f?n??m?f??n?成立，求实数m的取值范围. 19．（本小题满分12分） 在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示. [] (1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？ 获奖 不获奖 合计 附表及公式： K2?P(2≥k0) k0 20．（本小题满分12分） 0.15 2.072 文科生 5 理科生 合计 200 n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且 ab与椭圆的另一个交点为N,?F2MN的周长为42. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P,Q两点，点P在点Q的上方，若 S?F1NQ? 2S?F1MP ，求直线l的斜率. 321．（本小题满分12分） 已知函数 f?x??ex?sinx?1， （1）求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程； （2）求f?x?在区间?0,π?上零点个数． 22．（本小题满分12分） 已知函数f?x????12x??2a?2?x??2a?1?lnx. 2（1）求f?x?的单调区间； 1135??|fx?fx|??|?|，求正实数?的（2）对任意的a??2?,?， x1,x2??1,2?，恒有?1??x1x2?22?取值范围. DCCAB ABCAC BC 13．【答案】5 2??9,18? 14. 15.【答案】14 16.【答案】 4 517.【答案】(1) ??4?cos??16 (2) AB?211 试题解析： （1）将方程{x?4cosa?2 消去参数a得x2?y2?4x?12?0， y?4sina22∴曲线C的普通方程为x?y?4x?12?0， 将x?y??，x??cos?代入上式可得??4?cos??12， ∴曲线C的极坐标方程为： ??4?cos??12． （2）设A,B两点的极坐标方程分别为??1,22222???????,?,??2?, 6??6??2?4?cos??16 消去?得?2?23??12?0， 由{???62根据题意可得?1,?2是方程??23??12?0的两根， ∴?1??2?23,?1?2??12， ∴AB??1??2???1??2?2?4?1?2?215． 18.【答案】（1）；（2）m?6． 试题解析： （1）x?a?a?2， 2a?2?x?2，即得2a?2?1，得a?（2）∵f?n??m?f??n?，∴m?f?n??f??n? ?n?323. 233?n??3. 22∵(n?33，且存在实数n使f?n??m?f??n?， ?n?）min?322∴m?6. 19.【答案】 解析：(1)a＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025， x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69. (2)文科生人数为200×＝50，获奖学生人数为200×(0.015＋0.005)×10＝40，故2×2列联表如下： 获奖 不获奖 合计 因为2＝ 文科生 5 45 50 理科生 35 115 150 合计 40 160 200 1425≈4.167>3.841， 6所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”. x21120.【答案】（1）（2）?. ?y2?1； 22试题解析：（1）因为?F1MN的周长为42，所以4a?42，即a?由直线MF1的斜率1，得 2， b?1， c因为a2?b2?c2，所以b?1,c?1， x2所以椭圆的标准方程为?y2?1. 2NF11?41?N?,?（2）由题意可得直线MF1方程为y?x?1，联立得{x?， 因为 ，解得??，所以233MF3???y?112y?x?12212?1?S?F1NQ?S?F1MP，即NF1QF1sin?QF1N??MF1?PF1sin?PF1M?， 323?2?所以QF1?2PF1，当直线l的斜率为0时，不符合题意， 故设直线l的方程为x?my?1,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，由点P在点Q的上方，则 y2?-2y1，联立 x?my?1{x22?y2?1 ，所以m2?2y2?2my?1?0，所以y1?y2???2m?1，消去y2得,yy?12m2?2m2?2?2m2m2?2 ，所以8m{ 212m?22y1?2m?2y1???2??12142，得， m?,m??277m?2又由画图可知m?1414不符合题意，所以m??， 77114. ??m2故直线l的斜率为 21.【答案】（1）y?x?1（2）详见解析 试题解析：（Ⅰ）f??x??ex?sinx?cosx?． 因为 f??0??1， f?0???1， 所以曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程为y?x?1． （Ⅱ） 当??x?[0,3π)时，sinx?cosx?0，则f/(x)?0[] 43π，?]时，sinx?cosx?0，则f/(x)?0 当x?(4f(x)max3?3?2?f()?e4?1?0，f(0)?f(?)??1?0 42f?x?在区间?0,π?上恰有2个零点． 22.【答案】（1）①当a?0时，所以f?x?增区间是?0,???；②当a?0时， f?x?增区间是?0,1?与 ?2a?1,???，减区间是?1,2a?1?；③当?是?2a?1,1?； ④当a??1?a?0时， f?x?增区间是?0,2a?1?与?1,???，减区间21时， f?x?增区间是?1,???，减区间是?0,1?；（2）??0． 2试题解析： （1）f'?x??x??2a?2???x?2a?1??x?1?(x?0)， 2a?1 ?xx2令f'?x??0，则x1?2a?1， x2?1. ①当a?0时， f'?x??x?1??x?0，所以f?x?增区间是?0,???； ②当a?0时， 2a?1?1， 所以f?x?增区间是?0,1?与?2a?1,???，减区间是?1,2a?1?； ③当?1?a?0时， 0?2a?1?1， 2所以f?x?增区间是?0,2a?1?与?1,???，减区间是?2a?1,1?； ④当a??1时， 2a?1?0， 2所以f?x?增区间是?1,???，减区间是?0,1?. （2）因为a??35?，所以2a?1?4,6， ,???????22?由（1）知f?x?在?1,2?上为减函数. 若x1?x2，则原不等式恒成立，∴???0,???. 若x1?x2，不妨设1?x1?x2?2，则f?x1??f?x2?， 所以原不等式即为： f?x1??f?x2????即f?x1???11， ?x1x2?11???， ?x1x2?11?35??f?x2???对任意的a??,?， x1,x2??1,2?恒成立. x1x2?22?令g?x??f?x??所以对任意的a??x， ?35?， x,x?1,2有 ,???g?x1??g?x2?恒成立， 12??22?所以g?x??f?x???x在闭区间?1,2?上为增函数. 所以g'?x??0对任意的a?而g?x???35?， x??1,2?恒成立. ,??22??12?x??2a?2?x??2a?1?lnx?， 2x2a?1?32?2?0，化简即x??2a?2?x??2a?1?x???0， xxg'?x??x??2a?2??即2x?2x2a?x3?2x2?x???0，其中a??2,2?. ∵x??1,2?，∴2x?2x2?0，∴只需2x?2x2???35?????x?523?2x2?x???0. 即x3?7x2?6x???0对任意x??1,2?恒成立.[.] 令h?x??x3?7x2?6x??， x??1,2?， h'?x??3x2?14x?6?0恒成立. ∴h?x??x3?7x2?6x??在闭区间?1,2?上为减函数，则hmin?x??h?2????8， ∴hmin?x??h?2????8?0，解得??8. 2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案 （时间：120分钟 总分：150分，交答题纸） 第Ⅰ卷（12题：共60分） 一、 选择题（包括12小题，每小题5分，共60分） 1.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入 A．①简单随机抽样调查，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①② 都用分层抽样 2.“x?1”是“ 1?1”的 （ ） xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 （ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 4.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y?4x仅有一个公共这样的直线共有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.如果执行下面的程序框图，输出的S?56，则判断框中 为 （ ） A.k?7? B.k?8? C.k?7? D.k?8? 6.与向量(?3,?4,5)共线的单位向量是 （ ） A.(?2点， 322223222232222,?,) B.(,,)和(?,?,) 105210521052 C.(322223222232222,,) D.(,,?)和(?,?,) 105210521052227.已知双曲线C:4x?my?4m(m?0)的一条渐近线方程为2x?3y?0，则双曲线C的焦距为 （ ） A.213 B.6 C.25m D.4m 8.下列各数中最小的一个是 （ ） A.210(6) B.111111(2) C.1000(4) D.101(8) 9.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知 第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为 ( ) A. 2557 B. C. D. 39912甲 9 8 2 1 0 8 9 乙 3 3 7 9 10.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均 成绩的概率为 （ ） A． 4321 B. C． D． 555511.平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意平掷 在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 （ ） A. 1112 B. C. D. 432312．已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相 切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为 （ ） A. 5225 B. C. D. 3239第Ⅱ卷（10题：共90分） 二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分） 513.(x?2y)的展开式中的xy系数是 。 122314. 要用四种颜色（可以不全用）给四川、青海、西藏、云南 四省（区）的地图上色，每一省（区）一种颜色，只要求相 邻的省（区）不同色，则上色方法有 。 15.将A,B,C,D,E五种不同的文件随机地放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个 抽屈至多放一种文件，则文件A,B被放在相邻的抽屉内且文件C,D被放在不相邻的抽屉内的 概率是 。 16. ①命题“?x?R,x?1?3x”的否定是“?x?R,x?1?3x”；②已知p,q为两个命题，若 “p?q”为假命题，则“?p??q”为真命题；③“a?2”是“a?5”的充分不必要条件； ④“若xy?0，则x?0且y?0”的逆否命题为真命题。 其中所有真命题的序号为 。 三、解答题（包括6小题，共70分） 17.（本题10分） 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数 x (个) 2 3 3 4 4 5 4.5 22加工的时间 y (小时) 2.5 ??a??bx?，并在坐标系中画出回归直线； (1)求出y关于x的线性回归方程y(2)试预测加工10个零件需要多少小时？ ??(注：b?xy?nxyiii?1nn?) ??y?bx，a?xi?12i?nx2 18.（本题12分） 前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28, 0.30。第6小组的频数是7。 (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数； (2) 若由直方图估计这组数据的中位数， 指出它在第几组内，并说明理由； (3) 若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率。 19.（本题12分） 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，被直线y?2x?1 截得的弦长为15，求抛物线方程。 20.（本题12分） 已知矩形ABCD与正三角形AED所在的平面互相垂 直， M,N分别为棱BE,AD的中点，AB?1,AD?2。 (1)证明：直线AMP平面NEC； (2)求二面角N?CE?D的余弦值。 21.（本题12分） 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题，规则如下： ① 每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答错任 一题减2分； ② 每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于 或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③ 每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束。 假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为间没有影响。 （Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率； （Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列。 22.（本题12分） 3111、、、，且各题回答正确与否相互之4234uuur2525x和y??x上的两个动点，并且|AB|?20，动点P满足 设A,B分别是直线y?55uuuruuruuurOP?OA?OB，记动点P的轨迹为C。 （1）求曲线C的方程； uuuuruuur（2）若点D的坐标为(0,16)，M,N是曲线C上的两个动点，并且DM??DN，求实数?的取值范 围； （3）M,N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点 E(0,y0)，求y0的取值范围。 一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分） 1 B 2 A 3 D 4 C 5 C 6 D 7 A 8 B 9 C 10 D 11 B 12 A 二、 填空题（包括4小题，每小题5分，共20分） 42322A2?A5A2A24A613. ?20； 14. 48； 15. =； 16. 2。 521A7三、 解答题 17. (1)由表中数据得： ?xyii?14i?52.5，x?3.5,y?3.5，?xi2?54 i?14??0.7，a??0.7x?1.05。 回归直线如图所示： ??1.05，∴y ∴b??0.7?10?1.05?8.05 (小时)． (2)将x?10代入回归直线方程，得y 18. 解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为 7?50(人).∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． 0.14(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等.前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为 0.56，∴中位数位于第4组内. (3) a、b两人至少有1人入选的概率为P? 19. 设抛物线方程为y?2ax(a?0)，弦的两个端点分别为A(x1,y1)B(x2,y2) 2155?. 3612?y2?2ax222由? 得： 4x?(4?2a)x?1?0V?(4?2a)?16?4a?16a?0。 ?y?2x?1得：a?4或a<0。 x1?x2?2a?41 ,xx?1244?AB?1?k24a2?16a(x1?x2)?4x1x2?5?15 42?a2?4a?12?0 得a?6或a??2 。故抛物线方程为y2?12x或y2??4x。 20. 以N为坐标原点，NE，ND所在直线分别为x,y轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，-1， 0)， B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，E(3，0，0)，C(0，1，1)，M(311，-，). 222uuuruuurr (1)设平面NEC的一个法向量为n=(x,y,1)，因为NC=(0，1，1)，NE =(3，0，0)， uuurruuurruuurrruuur311，，)，ngAM =0， 所以ngNC=y+1=0，ngNE?3x=0；所以n=(0,-1,1)，因为AM?(222ruuur 所以n?AM，因为AM?平面NEC，所以直线AM∥平面NEC. ur(2)设平面DEC的一个法向量为m=(1,y,z), uuuruuururuuururuuur 因为DC=(0,0,1),DE?3,?1,0 ,所以mg DC?z?0,mgDE?3?y?0；??rurrururngm?36?rur???.因为二面角N—CE—D的大小为锐角， 所以m?1,3,0.cos〈n,m〉42?2|n||m|?? 所以二面角N—CE—D的余弦值为 6. 421.（1）设事件为A：甲同学进入下一轮。 事件Bi为：甲同学答对了第i题，事件Bi为：甲同学答错了第i题， 则P(A)?P(B1B2B3)?P(B1B2B3B4)?P(B1B2B3B4)?P(B1B2B3B4)?P(B1B2B3B4)=（2）?的所有可能取值为：2、3、4 1 413P(??2)?P(B1B2)?，P(??3)?P(B1B2B3)?P(B1B2B3)? 88131P(??4)?1??? 882 ??的分布列为： 22. （1）设：P(x,y),A(x1, 18 38 122525x1),A(x2,?x2) 55x?x1?x2?x1?x2?xuuuruuruuur??? QOP?OA?OB????255， (x1?x2)?x1?x2?y?y?5?2?uuurx2y25242??1 又|AB|?20，?y?x?20，即所求曲线方程为 251645uuuuruuur（2）设：N(s,t),M(x,y)，则由DM??DN可得(x,y?16)??(s,t?16) ?s2t2??1??2516 故x??s,y?16??(t?16) QM,N在曲线C上，??消去s， 222??s?(?t?16??16)?1?16?25 得 ?2(16?t2)(?t?16??16)216?16?1，又??0,??1解得t?17??15 2? 又|t|?4,?35???且??1 53?x2y2?1??222（3）设直线MN为y?kx?b(k?0)，则?2516得：(25k?16)x?50kbx?25(b?16)?0 ?y?kx?b? ??0解得：b?25k?16①且 则直线l为y? 由①②得y0?222x1?x2y1?y225kb16b ??,??22225k?16225k?1616b125kb?9bE(0,y)由在直线上② ??(x?)?y?l0025k2?16k25k2?1625k2?16818199。 ????y?025k2?161644 2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷共150分。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考号填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用0.5 mm黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。 3．考试结束，监考人只将答题卡收回。 第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．已知圆C:(x?2)2?(y?1)2?4，则圆C的圆心和半径分别为 (A) (2，，1) 4 (B) (2，?1)，2 (C) (?2，，1)2 (D) (?2，?1)，2 2．命题“若m?0，则方程x2?x?m?0有实根”的逆否命题为 (A) 若方程x2?x?m?0没有实根，则m≤0 (B) 若m≤0，则方程x2?x?m?0没有实根 (C) 若方程x2?x?m?0有实根，则m?0 (D) 若m?0，则方程x2?x?m?0没有实根 3．已知命题p:?x?0，x3?0，那么?p是 (A) ?x?0，x3≤0 (C) ?x?0，x3≤0 3≤0 (B) ?x0≤0，x03≤0 (D) ?x0?0，x04．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 (A) 8π (C) 2π (B) 4π (D) π 5．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x?3，y?3.5，则由该观测数据算得的线性回归 方程可能是 ??0.4x?2.3 (A) y???2x?9.5 (C) y ??2x?2.4 (B) y???0.3x?4.4 (D) y6．在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x?1≤3”发生的概率为 (A) 1 4 (B) 1 3 (C) 2 3 (D) 3 47．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为6，4，则输出值为 (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 的a的 8．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为x甲、x乙，则下列判断正确的是 (A) x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定 (B) x甲＞x乙，甲比乙成绩稳定 (C) x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 (D) x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定 甲 乙6 7 7 5 8 8 8 6 84 0 9 39．设m，n是空间两条不同的直线，?，?是空间两个不同的平面．下列选项中不正确的是 ．．．(A) 当n??时，“n??”是“?∥?”的充要条件 (B) 当m??时，“m??”是“???”的充分不必要条件 (C) 当m??时，“n??”是“m?n”的充分不必要条件 (D) 当m??时，“n∥?”是“m∥n”的必要不充分条件 10．如图，三棱锥A?BCD中，AB?AC?BD?CD?3， AD?BC?2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为 (A) 7 8 (B) 3 4 (C) 1 8 7(D) ? 811．已知命题p:函数f(x)?x2?2mx?4在[2，??)上单调递增；命题q:关于x的不等式 mx2?2(m?2)x?1?0对任意x?R恒成立．若p?q为真命题，p?q为假命题，则实数m的取值范围 为 (A) (1，4) (B) [?2，4] (D) (??，1)(2，4) (C) (??，1](2，4) 12．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，给出以下结论： ① 直线A1B与B1C所成的角为60?； ② 若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦 的取值范围是[3,1]； 3值 ③ 若P，Q是线段AC上的动点，且PQ?1，则四面体B1D1PQ的体积 为2. 6恒 其中，正确结论的个数是 (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．根据右图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y的值为 _______． 15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只 球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_______． 16．若直线y?x?b与曲线y?3?4x?x2有2个不同的公共点，则实 的取值范围是____________． 三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分） 已知命题p:x2?8x?20≤0，命题q:[x?(1?m)]?[x?(1?m)]≤0(m?0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 18.（本小题满分12分） 已知圆C过点A(1，4)，B(3，2)，且圆心在x轴上，求圆C的方程． 数b黄 19.（本小题满分12分） 如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1?底面ABC， 底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证： (Ⅰ) EF∥平面A1BC1； (Ⅱ) 平面AEF?平面BCC1B1． 20.（本小题满分12分） (Ⅰ) 求图中a的值及成绩分别落在[100，110)与[110，120)中的学生人数； (Ⅱ) 学校决定从成绩在[100，求这2人的成绩都在[110，120)的学生中任选2名进行座谈，120)的概率. 21.（本小题满分12分） π如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?BAD?，AB?BC?1，AD?2，E是AD的中点，O是 2AC与BE的交点．将?ABE沿BE折起到图2中?A1BE的位置，得到四棱锥A1?BCDE. (Ⅰ) 证明：CD?平面A1OC； (Ⅱ) 若平面A1BE?平面BCDE，求平面A1BC与平面ACD夹角（锐角）的余弦值． 1 22.（本小题满分12分） 已知圆C:x2?(1?a)x?y2?ay?a?0(a?R). (Ⅰ) 若a?1，求直线y?x被圆C所截得的弦长； (Ⅱ) 若a?1，如图，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M的动直线l与圆O:x2?y2?4相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得对任意的直线l均有?ANM??BNM？若存在， 求出实数a的值，若不存在，请说明理由. 数学 参考答案及评分意见（理科） 一、选择题：1－6 BADCAB 7－12 BCDACD． 二、填空题：13. 35；14. 25；15. 三、解答题： 17. 解析：由p:x2?8x?20?0，得?2?x?10， ·························································· 2分 ································ 4分 q:[x?(1?m)]?[x?(1?m)]?0，得1?m?x?1?m (m?0)， ·因为若p是q的充分不必要条件， 所以[?2,10]?···················································································· 6分 ?[1?m,1?m]． ·?1?m??2，?1?m??2，则?或? 解得m?9． 1?m?10，1?m?10，??5；16. (1?22,?1]. 6故实数m的取值范围为[9,??). ··············································································· 10分 18. 解析：方法一 设圆C：(x?a)2?y2?r2， ···························································· 1分 222??(1?a)?4?r，则? ································································································· 7分 222(3?a)?2?r，???a??1，解得?2所以圆C的方程为(x?1)2?y2?20. ·················································· 12分 r?20.?方法二 设圆C：x2?y2?Dx?F?0， ································································· 1分 则??17?D?F?0， ···································································································· 7分 13?3D?F?0，?解得??D?2，所以圆C的方程为x2?y2?2x?19?0. ············································ 12分 ?F??19.方法三 因为圆C过两点A(1,4B),又因为kAB?(，所以圆心3,C必在线段AB的垂直平分线l上， 4?2??1，所以kl?1，又AB的中点为(2,3)， 1?3故AB的垂直平分线l的方程为y?3?x?2，即y?x?1． 又圆心C在x轴上，所以圆心C的坐标为(?1,0)， ················································ 6分 所以半径r=|AC|?(1?1)2?42?20， 所以圆C的方程为(x?1)2?y2?20.········································································ 12分 19．解析：（Ⅰ）因为E,F分别是BC,CC1的中点， 所以EF∥BC1． 又因为BC1?平面A1BC1，EF??平面A1BC1， 所以EF∥平面A1BC1. ····························································································· 6分 （Ⅱ）因为三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱， 所以BB1?平面ABC．又AE?平面ABC， 所以AE?BB1． 又因为?ABC为正三角形，E为BC的中点， 所以AE?BC． 又BB1BC?B，所以AE?平面BCC1B1． 又AE?平面AEF，所以平面AEF?平面BCC1B1. ················································ 12分 20．解析：(Ⅰ) 根据频率分布直方图知组距为10， 由(2a?4a?5a?7a?2a)?10?1， 解得a?1················································································ 2分 ?0.005；· 200所以成绩落在[100,110)中的人数为2?0.005?10?20?2， ·································· 4分 成绩落在[110,120)中的人数为4?0.005?10?20?4. ·········································· 6分 (Ⅱ) 记成绩落在[100,110)中的2人为A1，A2，成绩落在[110,120)中的4人为B1，B2，B3，B4，则从成绩在 [100，120)的学生中任选2人的基本事件共有15个： ?A1,A2?,?A1,B1?,?A1,B2?,?A1,B3?,?A1,B4?,?A2,B1?,?A2,B2?,?A2,B3?,?A2,B4?, ?B1,B2?,?B1,B3?,?B1,B4?,?B2,B3?,?B2,B4?,?B3,B4?.其中2人的成绩都在[110,120)中的基本事件有6个： ?B1,B2?,?B1,B3?,?B1,B4?,?B2,B3?,?B2,B4?,?B3,B4?, 所以所求概率为P?62········································································· 12分 ?. · 15521．解析：(Ⅰ) 在图1中，AD∥BC， AB?BC?1，AE?1，?BAD?所以BE?AC，即在图2中， BE?AO1,BE?OC． ?2， OC?O，所以BE?平面A1OC，又CD又AO1BE， 所以CD?平面A1OC. ····························································································· 4分 (Ⅱ) 由已知，平面A1BE?平面BCDE， 又由(Ⅰ)知，BE?AO1,BE?OC， 所以?AOC为二面角A1-BE-C的平面角，所以?AOC?11?2. 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系， 因为A1B?A1E?BC?ED?1，BC∥ED， 所以B(C(0,222 ,0,0)，E(?,0,0)，A1(0,0,)，222222,0),BC?(?,,0), 22222··························································· 6分 ,?)，CD?BE?(?2,0,0). · 22AC?(0,1设平面A1BC的法向量n1?(x1,y1,z1)，平面ACD的法向量n2?(x2,y2,z2)，平面A1BC与平面ACD夹11角为?， ??n?BC?0，??x1?y1?0，由?1得?取n1?(1,1,1)， ························································ 8分 y?z?0，?0，?11??n1?AC1??n?CD?0，?x2?0，由?2得?取n2?(0,1,1)， ························································· 10分 y?z?0，2??n2?A1C?0，?2从而cos??|cos?n1,n2?|?23?2?6， 3即平面A1BC与平面ACD夹角的余弦值为16. ······················································· 12分 31122．解析：(Ⅰ) 当a?1，圆C的标准方程为：(x?1)2?(y?)2?， 24|1?1|2?2， 42圆心C到直线y?x的距离d?122所以，所得弦的长为2?()2?()2?． ······················································· 4分 242(Ⅱ) 令y?0得：x2?(1?a)x?a?0，即(x?1)(x?a)?0，所以M(1,0),N(a,0). 假设存在实数a，使得?ANM??BNM. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y?k(x?1)， ?y?k(x?1)，联立?2消去y得：(1?k2)x2?2k2x?k2?4?0， 2?x?y?4，?2k2x?x2?，??11?k2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则? 2k?4?xx?，12?1?k2?因为kAN??y1y2yy2k(x1?1)k(x2?1)，kBN???，所以kAN?kBN?1? x1?ax2?ax1?ax2?ax1?ax2?ak[(x1?1)(x2?a)?(x2?1)(x1?a)]k[2x1x2?(a?1)(x1?x2)?2a]? (x1?a)(x2?a)(x1?a)(x2?a)2(k2?4)2k2k[?(a?1)?2a]22(2a?8)k1?k1?k=?, (x1?a)(x2?a)(x1?a)(x2?a)(1?k2)因为?ANM??BNM，所以 y1y?2?0， x1?ax2?a又因为k?R，所以2a?8?0，解得a?4．当直线AB的斜率不存在时也成立． 故存在a?4，使得?ANM??BNM. ······································································ 12分 2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案 试卷说明：试卷共4页，答卷4页 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．与向量a?(1,?3,2)平行的一个向量的坐标是（ ） A．（ 1，1，1） 313，，－1） 22B．（－1，－3，2） D．（2，－3，－22） C．（－ 2．设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S3?3,S6?24，则a9?（ ） A． 13 B． 14 C ．15 D． 16 3．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．抛物线y?4x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为（ ） A． 217157 B． C． D．0 161685．若a、b为实数, 且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（ ） A．18 B．6 C．23 D．243 x2y26. 若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（ ） abA．y??2x B．y??2x C．y??3x D．y??22x 27．数列{an}中，an?2，则前n项和Sn等于（ ） n(n?1)n2nn?12nA．n?1 B．n?1 C． n?2 D．n?2 8．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为（ ） A.5或 55 B.5或 C. 243或35 D.5或 23第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6题，每小题5分，共30分 9．已知a,b,c分别是?ABC的三个内角 A、B、C所对的边，若a?1,b?3,A?C?2B，则 sinC?____________． 10．已知圆心在x轴上，半径为是___________． 2的圆O位于y轴左侧，且与直线x?y?0相切，则圆O的方程 11.与双曲线x?y?2有共同的焦点，且经过点M(?3,0)的椭圆的标准方程为__________. 22?x?y?5?y?x?1?12.坐标平面上的点(x,y)位于线性约束条件?所表示的区域内（含边界），则目标函数 x?0???y?0z?3x?4y的最大值是 13. 两个等差数列?an?,?bn?,a1?a2?...?an7n?2a?,则5= . b1?b2?...?bnn?3b514．如图所示，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面 60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证演算 15．（本小题满分12分） 已知a,b,c是?ABC中角A,B,C的对边,S是?ABC的面积.若a?4,b?5,S?53,求边c的长度. 16.（本题满分12分） 已知定圆Q：(x?3)?y?64,，动圆M和已知圆内切，且过点P(-3,0)，求圆心M的轨迹及其方程. 17．（本小题满分14分） 已知椭圆过点P(1,)，其焦点为F1(?1,0)和F2(1,0). （1）求椭圆的方程。 （2）过F1作倾角为45°的直线交椭圆于A、B两点，求三角形ABF2的面积 18．（本小题满分14分）某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管为平均每天每吨3元，购面粉每次需支付运费900元． 设该厂x（x?N*）天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为y元。 （平均每天所支付的总费用= 所有的总费用） 天数22明过程或 32（1）前三天面粉保管费用共多少元； （2）求函数y关于x的表达式； （3）求函数y最小值及此时x的值 19．（本小题满分14分） 如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中， AB?BC?2,BB1?4，E是棱CC1上的点，且 CE?1； F是DD1中点 （1）求异面直线DB与CF所成角的大小； （2）求证：A1C?平面BDE． （3）求二面角B—DE—C的余弦值 20．（本小题满分14分） 已知数列{an}是首项、公比都为q（q>0且q≠1）的等比数列，bn?anlog4an(n?N*). （1）当q=5时，求数列{bn}的前n项和Sn； （2）当q?14时，若bn?bn?1，求n的最小值. 15 参考答案 一、选择题 c c a b b d b b 二、填空题 x2y2265??1 12、18 13、 14、 9、1 10、(x?2)?y?2 11、 4951222三、解答题 15．由三角形面积公式：S?1absinC ………………………2分 2∴sinC?3 ………………………3分 2 又C?(0,?)，∴C?当C??3或2? ………………………6分 3?3时，由余弦定理 c?a2?b2?2abcosC?21………………………9分 当C?2?时，由余弦定理 c?a2?b2?2abcosC?61………………………11分 321或61 ………………………12分 ∴ c? 16.解：由圆的方程得，圆心Q(3,0)，半径r=8 ，2分； |PQ|=6<8∴P在定圆内 3分 设动圆圆心为M(x,y)，则|MP|为半径，又圆M和圆Q内切,故|MQ|=8-|MP| ∴|MQ|+|MP|=8 6分 ∴M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，∴2a=8,b=7 10分 ∴动圆圆心M的轨迹方程是 12分 x2y2??11672 x2y217．（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)由条件知椭圆焦距2c?2，得c?1 ……2分 ab又椭圆过点P(1,)，其焦点为F1(?1,0)和F2(1,0)，则椭圆长轴长 3233532a?AF1?AF2?(?0)2?(1?1)2????4 ………………4分 2222所以a?2，则b?3 2x2y2??1 ………………………………6分 所求椭圆方程为： 43（2）由题意，直线l的方程为y?x?1 ……………………6分 联立直线与椭圆方程消去y,得7x?8x?8?0 ……………………8分 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??2288,x1x2?? ………………………10分 772(x1?x2)2?4x1x2?24 …………………12分 7由弦长公式：|AB|?1?1|x2?x1|?点F2（1，0）到直线AB的距离d?∴三角形ABF2的面积S? |1?0?1|?2 2112|AB|?d?2 …………………14分 2718．解：（1）前三天面粉保管费用共多少元为： 6?3?12?3?18?3?102（元）…………2分 （2）由题意知： ∴购买面粉的费用为6?180x0?保管等其它费用为3?(6?12?10x8元，00 …………4分 ?x6)?x9x(?， ……6分 ∴ y?10800x?9x(x?1)?900100?10809?9(x?)（x?N*）……8分 xx10800x?9x(x?1)?900100?10809?9(x?) xx?10809?9?2x?100?10989，10分 x（3）y?即当x?100，即x?10时，y有最小值10989， 13分 x答：该厂10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。 14分 19．以点A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，则 B（2，0，0）、D（0，2，0）、C（2，2，0），E（2，2，1）、F（0，2，2），A1（0，0，4）…………2分 →→（1）DB=（2，—2，0），CF =（—2，0，2），设异面直线DB与CF所成角为? …………4分 则cos??|cos?DB,CF?|???|DB?CF||DB||CF|?????1 ………5分 2∴??60? ，即异面直线DB与CF所成角为60° …………6分 （2）?AC??2,2,?4?，BE??0,2,1?． …………7分 1ACDB?2?2?2?(?2)???4??0?0， 1ACBE?2?0?2?2???4??1?0， 1 ?AC?BD,AC?BE． 11?A1C?BE，A1C?BD． ………………………9分 ，ED?平面BDE， BE?BD?B，BE?平面BDE?A1C?平面BDE． ………………………10分 （3）由（2）AC??2,2,?4?是平面BDE的一个法向量………………………11分 1j?(0,1,0)是平面CDE的一个法向量 ………………………12分 向量AC1与j所成角是二面角B-DE-C的平面角（或其补角） cos?AC1,j??ACj61? 6|AC||j|16 ………………………14分 6二面角B—DE—C的余弦值为 nnnn20．解：（1）由题得an?q,?bn?an?log4an?q?log4q?n?5?log45………2分 2n ?Sn?(1?5?2?5???n?5)log45---------------------------------------3分 2n设Tn?1?5?2?5???n?5-----------------------------------------（1） 5Tn?1?52?2?53??(n?1)5n?n?5n?1----------------------------（2） (2)-(1)：?4Tn?5?5?5???5?n?522nn?15(5n?1)??n?5n?1 4 Tn?55(4n?5n?5n?1), Sn?(4n?5n?5n?1)log45------------- 8分 161614n14, )log41515 （2）bn?anlog4an?n( 141414bn?1?bn?(n?1)()n?1?n()nlog4-------------------------------------10分 1515151414n1414n?()n(?log4)?0???0,n?14，即取n?15时，bn?bn?1. 151515151515所求的最小自然数是15.---------------14分 2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案 本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：试卷分第I卷和第II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷. 第I卷 共60分 一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 21．命题“?x0?R，x0?x0?2?0”的否定是 A．?x0?R，x0?x0?2?0 B．?x?R，xC．?x?R，x222?x?2?0 ?x?2?0 D．?x?R，x2?x?2?0 2．下列有关命题的说法正确的是 A．命题“若x2?1，则x?1”的否命题为“若x2?1，则x?1” B．命题“若x?2y，则x2?y2”的逆否命题是假命题 2C．命题“若a?b?0，则a,b全不为0”为真命题 D．命题“若???”，则cos??cos?”的逆命题为真命题 3．抛物线y?ax的焦点坐标为 A．(2 C．(0,1,0) 4aB．(,0) a41) 4aD．(0,) a44．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE?AA则x,y的1?xAB?yAD，值是 A．x?1111,y? B．x?1,y? C．x?,y?1 D．x?1,y?1 22225．如图，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为 A．? 101011 B．? C. D. 10102020 x2?y2?1有相同渐近线的双曲线方程是 6．过点P(2,?2)，且与2x2y2y2x2x2y2??1 B．??1 C．??1 A．422424y2x2??1 第5题图 D．42x2y27．“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是 m-13-mA．1?m?3 2B．1?m?2 C．2?m?3 D．1?m?3 x2y2??1的左右焦点，顶点P在双曲线C上， 8．已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线C:169则 sinA?sinB的值等于 sinP574 C． D． 445A．7 B． 29．已知抛物线y??4x上的焦点F，点P在抛物线上，点A??2,1?，则要使|PF|?|PA|的值最小的点P的坐标为 A．???1??1?,1? B．?,1? C．?2,?22 D．?2,22 ?4??4?????10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的 中点，GC⊥平面ABCD，且GC?2，则点B到平面EFG的距 离为 A F B D G C E 102113A． B． C． D．1 第10题图 10115y x2y211．如图，椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶点A,B,C,D构成 ab的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆 的离心率是 A．A D O C x 3?5355?15?1 B． C． D． 8224B 第11题图 12．双曲线y?1的实轴长和焦距分别为 xA．2,2 B．2,22 C．22,4 D．22,42 第Ⅱ卷 共90分 二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知向量a?(?1,0,1)，b?(1,2,3),k?R，且(ka?b)与b垂直，则k等于 ***** . x2?y2?1的两个焦点，点P在椭圆上，且F1P?PF2?0，则△F1PF2 的面积14．设F1，F2是椭圆4为 ***** . 15．已知抛物线y?8x，F为其焦点，P为抛物线上的任意点，则线段PF中点的轨迹方程是***** . 16．有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米， 桥下的水面宽 ***** 米. 17．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面 上的点C处，已知测得从D、C到库底与水坝的交线 的距离分别为DA?102米、CB?10米，AB的长 为10米，CD的长为106米，则库底与水坝所成的二 面角的大小为 ***** 度. 第17题图 218．已知平面?经过点A(1,1,1)，且n?(1,2,3)是它的一个法向量. 类比曲线方程的定义以及求曲线方程 的基本步骤，可求得平面?的方程是 ***** . 三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分） 在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE?EB,AD//EF，EF//BC，BC?2AD?4，EF?3， AE?BE?2，G是BC的中点． (Ⅰ) 求证：AB//平面DEG； (Ⅱ) 求二面角C?DF?E的余弦值. 20．（本小题满分10分） 已知抛物线C:y?4x与直线y?2x?4交于A,B两点. (Ⅰ)求弦AB的长度； 2ADEFBGC(Ⅱ)若点P在抛物线C上，且?ABP的面积为12，求点P的坐标. 21．(本小题满分12分) x2y2??1有相同的焦点，实半轴长为3. 已知双曲线C与椭圆84 (Ⅰ)求双曲线C的方程； (Ⅱ)若直线l:y?kx?2与双曲线C有两个不同的交点A和B,且OA?OB?2 (其中O为原点),求k的取值范围. 22．(本小题满分12分) 如图，在平行四边形 ABCD中，AB?1,BD?2,?ABD?900，将它们沿对角线BD折起，折后的 点C变为C1，且AC1?2． (Ⅰ)求证：平面ABD?平面BC1D； (Ⅱ)E为线段AC1上的一个动点，当线段EC1的 长为多少时,DE与平面BC1D所成的角为30？ 23．（本小题满分14分） 0 x2y23如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，A1,A2,B1是椭圆C的顶点，若椭圆C的离心率e?， 2ab且过点(2,2). 2(Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)作直线l，使得l//A2B1，且与椭圆C相交于P、Q两点（异于椭圆C的顶点），设直线A1P和直 线B1Q的倾斜角分别是?,?，求证：?????. 参考答案 一、选择题：1－12：BDCADB ADABCC 二、填空题： 2213．7 14．1 15. y?4x?4 16．26 17．135 18.x?2y?3z?6?0 三、解答题： 19．解 (Ⅰ)证法一：∵AD//EF,EF//BC， ∴AD//BC. 又∵BC?2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG， ∴四边形ADGB是平行四边形， ∴ AB//DG. ∵AB?平面DEG，DG?平面DEG， ∴AB//平面DEG. 证法二：∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB， ∴EF?AE，EF?BE，又AE?EB,∴EB,EF,EA两两垂直. 以点E为坐标原点，EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图的空间 zAD直角坐标系.由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0）， ，F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0） C（2，4，0） ED?(0,2,2),EG?(2,2,0),AB?(2,0,?2), 设平面DEG的法向量为n?(x,y,z) ??2y?2z?0?ED?n?0则?，即?，令y?1,得n?(?1,1,?1). ?2x?2y?0??EG?n?0∴AB?n??2?2?0，即AB?n. ∵AB?平面DEG, ∴AB//平面DEG. (Ⅱ)由已知得EB?(2,0,0)是平面EFDA的法向量. 设平面DCF的法向量为n0?(x0,y0,z0)，∵FD?(0,?1,2),FC?(2,1,0)， ???y0?2z0?0?FD?n0?0∴?，即?，令z0?1,得n0?(?1,2,1). 2x?y?0?00??FC?n0?0则cos?n0,EB??6?26， ∴二面角C?DF的余弦值为??E. ??662620．解：(Ⅰ)设A（x1,y1)、B(x2,y2), 由??y?2x?4?y?4x2得x2-5x+4=0,Δ>0. 法一：又由韦达定理有x1+x2=5,x1x2=4, ∴|AB|=1?22|x1?x2| =1?22?(x1?x2)2?4x1x2?5?25?16?35, 法二：解方程得：x=1或4，∴A、B两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴|AB|=(4?1)2?(4?2)2?35, yo2,yo),设点P到AB的距离为d,则 (Ⅱ)设点P(4d?yo2?yo?425,∴S△PAB= 135··2yo2?yo?425=12， yo2yo2?yo?4??8，解得yo?6或yo??4 ?yo?4?8. ∴∴ 22∴P点为（9，6）或（4，-4）. x2y221．解：(Ⅰ)设双曲线的方程为2?2?1(a?0,b?0),?a?3,c?2,?b?1, abx2?y2?1. 故双曲线方程为3x2?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0 (Ⅱ)将y?kx?2代入3?1?3k2?0122 由?得k?,且k?1 3???0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OA?OB?2得 x1x2?y1y2?x1x2?(kx1? ?(k?1)22)(kx2?2)=(k2?1)x1x2?2k(x1?x2)?2 ?962k1?2k?2?2,得?k2?3. 221?3k1?3k3331)?(,1) ?k2?1,即k?(?1,?333又k?1，?22． (Ⅰ) 2AC1?2?AC12?AB2?BC12?AB?BC1 D,BC1?BD?B 又AB?BD，BC1,BD?平面BC1?AB?平面BC1D AB?平面ABD ∴平面ABD?平面BC1D （Ⅱ）在平面BC1D过点B作直线l?BD,分别直线l,BD,BA为x，y，z建立空间直角坐标系B-xyz 则A(0,0,1)，C1(1,2,0)，D(0, 2,0) z y ∴AC1?(1,2,?1),AD?(0,2,?1),BA?(0,0,1) 设AE??AC1?(?,2?,??)，则E(?,2?,1??),??[0,1] ∴DE?(?,2??2,1??) x 又BA?(0,0,1)是平面BC1D的一个法向量 |k |B| 1 . c| O |m o依题意得sin30?|cos?BA,DE?|，即|1???2?3(??1)2|?1 2解得??23. 解： 10，即|C1E|?1时，DE与平面BC1D所成的角为30． 2?c3??2?a1x2?2?y2?1 （Ⅰ）由已知得： ?2?2?1?a?2,b?1，?椭圆C的方程为 2b4?a?c2?a2?b2??（Ⅱ）由（Ⅰ）知：A1(?2,0)，A2(2,0)，B1(0,1) l//A2B1?kl?kA2B1??1 21x?m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2) 2故可设直线l的方程为y???x2?y2?1??4由?得x2?2mx?2m2?2?0 ?y??1x?m??2??4m2?4(2m2?2)?0，即?2?m?2,x1?x2?2m,x1x2?2m2?2 P,Q异于椭圆C的顶点，????tan??kA1P??2,???2, y1y?1，tan??kB1Q?2 x1?2x2?tan??tan??y1y?1x2y1?(x1?2)(y2?1)x2y1?x1y2?2y2?x1?2??2? (x1?2)x2(x1?2)x2x1?2x211y1??x1?m，y2??x2?m 22111x2(?x1?m)?x1(?x2?m)?2(?x2?m)?x1?2222?tan??tan?? (x1?2)x2(m?1)(x1?x2)?x1x2?2m?22m(m?1)?(2m2?2)?2m?2??0 ?(x1?2)x2(x1?2)x2?tan(???)?又 tan??tan??0 1?tan?tan??,??(0,?)，∴ ????(0,2?),故?????. 2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题和解答题）两部分。满分150分； 考试时间120分钟.考试结束后，监考教师将答题纸和答题卡一并收回。 第Ⅰ卷（共50分） 注意事项： 本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．下列双曲线中，渐近线方程为y??2x的是( ) y2x2y2x222?1 B．?y?1?1 D．?y2?1 A．x?C．x?4422 22．设a,b?R，则“a?b?0”是“ 11?”的（ ）条件 abA．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．在?ABC中，如果A．等腰三角形 ab，则该三角形是 =cosBcosA B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．以上答案均不正确 n4．已知数列{an}的前n项和Sn?2?1，那么a4的值为 A．1 B．2 C．4 D．8 ?x?y?05．在平面直角坐标系中，不等式组??x?y?4?0表示的平面区域的面积是（ ） ?y?0?A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6．若不等式2kx2?kx?3?0的解集为空集，则实数k的取值范围是（ ） 8A. (?3,0) B.(??,?3) C. ??3,0? D.(??,?3]?[0,??) 7．下列命题中，说法正确的是（ ） A．命题“若x?1，则x?1”的否命题为“若x?1，则x?1” B.“0?x?221”是“x(1?2x)?0”的必要不充分条件 222C．命题“?x0∈R，使得x0?x0?1?0”的否定是：“?x∈R，均有x?x?1?0” D．命题“在?ABC中，若A?B，则sinA?sinB”的逆否命题为真命题 8．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且 aSn2n?，则5 Tn3n?1b5A． 29207 B． C． D． 314319??9．在?ABC中，a?2,A?30，C?45，则S?ABC=（ ） A．2 B．22 C．3?1 D． 12?3?1 ?x2y210．已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x?4y?0交椭 ab圆E于A,B两点．若AF?BF?4，点M到直线l的距离不小于（ ） A． (0,] B．(0,4，则椭圆E的离心率的取值范围是534333] C．[,1) D．[,1) 224第Ⅱ卷（共100分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上。 11．已知等比数列{an}中，a3??2，那么a2?a3?a4的值为 ． 12．如果a?0，那么a?21?2的最小值是 ． a2213．若抛物线y?2px(p?0)的准线经过双曲线x?y?1的一个焦点，则p? ． 14. 设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a?3， sinB?1π，C?，则26b? ． 15. 已知f(x)?m(x?m?5)(x?m?3)，g(x)?2?2.若?x?R,f(x)?0或g(x)?0，则m的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分） 如图?ABC中，已知点D在BC边上，且AD?AC，sin?BAC?22， 3A xAB?32，BD?3． （Ⅰ）求AD的长； （Ⅱ）求cosC． C D （16题图） B （注：sin(?2??)?cos?） 17．（本小题满分12分） x2y2??1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：对任意实数x不等式已知命题p：方程2mx2?2mx?2m?3?0恒成立. （Ⅰ）若“q”是真命题，求实数m的取值范围； （Ⅱ）若“p?q”为假命题，“p?q”为真命题，求实数m的取值范围. 18.（本小题满分12分） 已知直线l经过抛物线y?4x的焦点F，且与抛物线相交于M，N两点． （Ⅰ）当直线l的斜率为1时，求线段MN的长； （Ⅱ）记t?211?，试求t的值． |FM||FN|19.（本小题满分12分） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时． 假定每天至多可获取鲜牛奶15吨，问该厂每天生产A，B两种奶制品各多少吨时，该厂获利最大． 20.（本小题满分13分） 数列?an?满足a1?2a2?????nan?4? （Ⅰ） 求a3的值； （Ⅱ） 求数列?an?前n项和Tn； （Ⅲ）设bn?log2a1?log2a2?......?log2an，cn? 21.（本小题满分14分） n?2 , n?N*. n?121，求数列?cn?的前n项和. bn?1x2y22如图，椭圆E：2+2?1(a?b?0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两 2ab点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22. （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）在y轴上，是否存在与点P不同的定点Q，使得若不存在，请说明理由. QAPA恒成立？若存在，求出点Q的坐标；?QBPB 数学试题答案 选择题答案（文理）：AACDB CDBCB 11． ?8 ． 12． 4 ． 13．【答案】22 14. b? 1 ． 15.则m的取值范围是 (?4,0) . 16.（Ⅰ）由AD?AC知， ?22 ………………………2分 sin?BAC?sin(?DAB?)?cos?DAB?23在△ABD中，由余弦定理知BD2?AD2?AB2?2AB?ADcos?BAD 即AD2?8AD?15?0，…………………………4分 解得AD?3或AD?5 显然AB?AD，故AD?3.…………………………6分 （Ⅱ）由cos?DAB?221得sin?BAD?……………………8分 33BDAB， ?sin?BADsin?ADB在△ABD中，由正弦定理知 故sin?ADB?6…………………………10分 3?6.…………………………12分 cosC?cos(?ADB?)?sin?ADB?2317．解：（Ⅰ）因为对任意实数x不等式x2?2mx?2m?3?0恒成立， 所以??4m?4(2m?3)?0，解得?1?m?3 ，．…………2分 又“q”是真命题等价于“q”是假命题，．…………3分 2???．…………4分 所以所求实数m的取值范围是???,?1???3，17．解：（Ⅰ）因为对任意实数x不等式x2?2mx?2m?3?0恒成立， 所以??4m?4(2m?3)?0，解得?1?m?3 ，．…………2分 又“q”是真命题等价于“q”是假命题，．…………3分 2???．…………4分 所以所求实数m的取值范围是???,?1???3，x2y2??1表示焦点在x轴上的椭圆，所以0?m?2，……6分 （Ⅱ）因为方程2m“p?q”为假命题，“p?q”为真命题，等价于p,q恰有一真一假，………7分 ?0?m?2当p真q假时，，无解…………9分 ??m??1或m?3?m?0,或m?2当p假q真时，，则?1?m?0,或2?m?3，…………11分 ???1?m?3综上所述，实数m的取值范围是??1,0???2,3?．…………12分 18.（本小题满分12分） 已知直线l经过抛物线y?4x的焦点F，且与抛物线相交于M，N两点． （Ⅰ）当直线l的斜率为1，求线段MN的长； （Ⅱ）记t?211?，试求t的值． |FM||FN|解：（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为：x??1．…………1分 设M?x1,y1?，N?x2,y2?，由抛物线的定义知 |MF|?x1?1，|NF|?x2?1， 于是|MN|?|MF|?|NF|?x1?x2?2．………………3分 由F(1,0)，所以直线l的方程为y?x?1， 解方程组??y?x?12x?6x?1?0．………………4分 ，消去得y2?y?4x由韦达定理得x1?x2?6， 于是|MN|?x1?x2?2?8 所以，线段MN的长是8．…………………………6分 （Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x2,y2),直线l的方程为x?my?1 联立??x?my?122y?4my?4?0??16m?16?0 得，2?y?4x y1?y2?4m,y1y2??4 …………………………8分 因为, y1y2??4?0, ?y1，y2异号,又 t?1111111 ?????222y|FM||FN|y1?m|y1|1?m|y2|1?m121(y1-y2)21(y1?y2)2?4y1y2 ?t????22221?m(y1y2)1?m(y1y2)2116m2?16???1 …………………………11分 2161?m所以 , 所求t的值为1． …………………………12分 方法二：设M(x1,y1)，N(x2,y2), 当直线l的斜率不存在时，M(1,2)，N(1,?2)，t?11??1；………7分 |FM||FN|当直线l的斜率不存在时，设直线l方程为y?k(x?1) 联立??y?k(x?1)22222xkx?(2k?4)x?k?0消去得，??16k?16?0 2?y?4x2k2?44,x1x2?1 …………………………9分 x?x??2?2 1k2k2t?x1?x2?21111???? |FM||FN|x1?1x2?1x1x2?x1?x2?14?42k ??1………………11分 41?2?2?1k所以 , 所求t的值为1． …………………………12分 19.（本小题满分12分） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时． 假定每天可获取的鲜牛奶数量15（单位：吨），问该厂每天生产A，B两种奶制品各多少吨时，该厂获利最大． 解：设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有 ?2x?1.5y?15,?x?1.5y?12,? …………4分 ?2x?y?0,???x?0,y?0,目标函数为z?1000x?1200y ． …………5分 上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域．…………7分 作直线l:1000x?1200y?0，即直线x?1.2y?0. 把直线l 向右上方平移 到l1 的位置，直线l1经过可行域上的点B，此时z?1000x?1200y 取得最大值．…………8分 由?0 , 0 ) O A ( C ( 7 . 5 , 0 ) 12 x y 10 8 B ( 3 , 6 ) ?x?2y?0 解得点M的坐标为?3,6?．…………10分 2x?1.5y?15?∴当x?3,y?6 时， zmax?3?1000?6?1200?10200(元)． 答：该厂每天生产A奶制品3吨，B奶制品6吨，可获利最大为10200 元．…12分 20.（本小题满分13分） 数列?an?满足a1?2a2?????nan?4? （Ⅰ） 求a3的值； （Ⅱ） 求数列?an?前n项和Tn； n?2 , n?N*. n?12（Ⅲ）（理科）设bn?log2a1?log2a2?......?log2an，cn? 解：（Ⅰ）令n?1，得a1?1， 令n?2，有a1?2a2?2，得a2?令n?3，有a1?2a2?3a3?4?1，求数列?cn?的前n项和. bn?11， 251，得a3?．…………3分 44（Ⅱ）当n?2时，a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1?4? a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1?nan?4?②―①，得nan?所以an?n?1， ① n?22n?2， ② 2n?1n?1n?2n，…………………5分 ??2n?22n?12n?11， 2n?11， 2n?1又当n?1时，a1?1也适合an?所以，an?1（n?N?）…………………7分 n?12（Ⅲ）（理科）bn?log2a1?log2a2?...?log2an ??1?2?????(n?1) ??n(n?1) …………………9分 21211????2(?) …………………10分 bn?1n(n?1)nn?1故cn?111112n ……12分 c1?c2?...?cn??2((1?)?(?)?...?(?))??223nn?1n?1所以数列{2n1}的前n项和为? …………………13分 bnn?121.（本小题满分14分） x2y22如图，椭圆E：2+2?1(a?b?0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两 2ab点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22. （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）在y轴上，是否存在与点P不同的定点Q，使得若不存在，请说明理由. QAPA恒成立？若存在，求出点Q的坐标；?QBPB …………………………1分 解得a?2,b?2， …………………………3分 x2y2??1. …………………………4分 所以椭圆的方程为42（Ⅱ）由点Q在y轴上，可设点Q的坐标为(0,y0) ……6分 …………………………8分 …………………………10分 …………………………13分 …………………………14分 2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案 （总分：150分 考试时间：120分钟 ） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B?x/x?x?2?0，则 A、? B、?2? C、?0? D、2、设向量a,b满足?2? （ ） ??2? a?b?10 ，a?b?6，则ab? （ ） A、1 B、 2 C、3 D、5 3、函数y?sin?2x??????的最小正周期是 （ ） 6? A、4? B、2? C、? D、4、若?是第四象限的角，则??2 ??是 （ ） A、第一象限的角 B、第二象限的角 C、第三象限的角 D、第四象限的角 5、等差数列（ ） A、n?an?的公差为 2，若 a2， a4，a8成等比数列，则 ?an?的前 n项和 sn? ?n?1? B、n?n?1? C、n?n?1?n?n?1? D、 226、若AB?(2,4)，AC??1,3?，则BC等于 （ ） A、?1,1? B、??1,?1? C、?3,7? D、??3,?7? 7、已知向量a??1,?1?,b??1,2?,c??x,1?，向量c满足2a??b?c?，则x的值 为 （ ） A、-4 B、4 C、-2 D、2 8、若sin A、??2?3，则cos?? （ ） 32112 B、? C、 D、 33339、化简AC?BD?CD?AB （ ） A、AB B、DA C、BC D、0 sin47o?sin17ocos30o? （ ） 10、ocos17A、?1133 B、? C、 D、 222211、Sn为数列 ?an?的前n和，若Sn?2an?2n?N*，则a2等于 （ ） ??A、4 B、2 C、1 D、-2 12、已知 ?an?为等差数列，a1?a3?a5?105，a2?a4?a6?99，则a20等于（ ） ?an?的前n项和为Sn，且S5?13，S15?63，则S20等于 （ ） A、-1 B、1 C、3 D、7 13、设等差数列 A、90 B、100 C、110 D、120 S414、设等比数列?an?的公比q?2，前n项和为Sn，则等于（ ） a2 A、2 B、4 C、 1517 D、 2215、计算sin240?的值为 （ ） A、?16、在3 2131B、? C、 D、 222a、b、c。已知cos2?ABC中，角A、B、C的对边分别是Ab?c?，则?ABC是 22b（ ） A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形 二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。 17、化简sin?????? 。 x?4的定义域为 。 18、函数f?x??19、函数20、数列f?x??sin?x????2sin?cosx的最大值为 。 ?an?满足an?1?1,a2?2,则a1=_________。 1?an 第Ⅱ卷 三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。 21、（本小题满分12分） 在?ABC中 ，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a二、 求角A的大小； 2?b2?c2?bc。 （2）若a ?22，b?2，求c的值。 22、（本小题满分12分） 已知f?x??cosx?sinx?2 44??（1）求函数（2）求函数 f?x?的最小正周期、最大值和最小值； f?x?的单调递减区间. 23、（本小题满分12分） 在等比数列 ?an?中，公比q?1，且a1?a4?9，a2?a3?8。 （1）求a1和q的值； （2）求 24、（本小题满分14分） 已知数列?an?中，a1?（1）求a3的值； （2）证明：数列 ?an?的前６项和S6。 2,a2?1,3an?4an?1?an?2?n?3?。 3?an?an?1??n?2?是等比数列； （3）求数列?an?的通项公式。 三、解答题（共50分） 21．解：（1）由余弦定理得 a2?b2?c2?2bccosA……………………2分 ?a2?b2?c2?bc ??2cosA?1 1即cosA??……………………4分 2?A??0,?? 2??A?3……………………6分 （2）由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA及a?22,b?2,A? 222?得 3??2?22?c2?4ccos2? 3 即c2?2c?4?0……………………9分 解知c? ?c?5?1或c??5?1（舍去） 5?1……………………12分 即 k??x?k???2时， f?x?单调递减……………………10分 ???f?x?的单调递减区间为??k?,k???，k?Z……………………12分 ?2??26?1 ?63……………………12分 24．解：（1）?a1?2,a2?1,3an?4an?1?an?2 3?3a3?4a2?a1 4?a3??（2）?3an323 10……………………3分 9?4an?1?an?2 ?3an?3an?1?an?1?an?2 an?an?11??……………………5分 an?1?an?23??an?an?1?是等比数列，且首项为1，公比为1。……………………7分 33（3）由（2）可知 ?an?an?1?的通项为 n?1an?an?1?1?????3?，……………………9分 ?1??1??1??1???a2?a1???a3?a2???a4?a3??????an?an?1?????????????????3??3??3??3??1??1??1??1?即：an?a1????????????????3??3??3??3?1??1??1???3???3?1?13n?123n?123n?1……………………11分 ????? n-11??1????1???? 2???3???11?1??????22?3?n?1 11?1??an?????22?3?71?1??????62?3? n?1?n?12 3……………………14分 2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案 考生注意： 1.本试题分第I卷和第II卷，共4页。 2.考试时间为120分钟，试卷总分为160分。 3.请将答案认真填写在答题纸上，答在试卷上无效。 第I卷 填空题（共70分） 一、 填空题（每题5分，计70分） 2．“x??2”是“x?4”的 条件（填：“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）. 3．根据《环境空气质量指数AQI技术规定》，AQI 共分为六级：（0，50]为优，（50，100]为良，（100， 150] 为轻度污染，（150，200]为中度污染，（200， 300]为重度污染，300以上为严重污染．右图是根 据盐城市份中20天的AQI统计数据 绘制的频率分布直方图．由图中的信息可以得出这 20天中盐城市环境空气质量优或良的总天数为 . 4．现有4根竹竿，他们的长度（单位：m）分别为1，2，3，4，若从中一次随机抽取两根竹竿，则他们的长度恰好相差2m的概率 . 5．如图2所示的框图，若输入值n=8，则输出s的值为 . 2x2y2?2?1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则 6. 若双曲线 4b该双曲线的渐近线方程为 . 7．空间三点A(1,5,?2)，B(2,4,1)，C(p,2,q?2)，若A、B、C三点 共线，则p?q＝ ． x2y2??1上一点P到左焦点的距离为3，则P到右准线的距离为 . 8．椭圆 25169．点A(?3,?2,4)，它关于原点的对称点为B，关于平面yOz的对称点为C，则BC＝ . x2y2PF11?，则椭圆的离心率的取值范围10. 已知P是椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，且满足PF2ab2是 . 11.已知数据x1,x2,……,x10的方差为2，且(x1-2)2+(x2-2)2+……+(x10-2)2=110，则数据x1,x2,……,x10的平均数是 . ?2x?y?0x2?y2?12.已知实数x,y满足线性约束条件?x?y?4?0，则的取值范围是 ． xy?x?3?13.若抛物线y?8x的顶点是抛物线上到点M（a,0）距离最近的点，则实数a的取值范围是 . 214.若关于x的不等式(x?2)?ax的解集中的整数恰有两个，则实数a的取值范围是 . 第II卷 解答题（共90分） 二、解答题（第15、16、17题每题14分，第18、19、20题每题16分，计90分） 22x2y2??1表示双曲线”. 15. 命题p“对?x?R，x?2x?m?0恒成立”，命题q：“方程 m?46?m2(1)若p为假命题，求实数m的取值范围； (2)若p∧q是假命题，p∨q是真命题，求实数m的取值范围． 16．已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-2bx+1.ks5u （1）设集合P={1，2，3},Q={－1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a,从集合Q中随机取一个数作为b，求方程f(x)?0有两相等实根的概率； ?x?y?8?0?（2）设点（a，b）是区域?x?0内的随机点，求函数y?f(x)在区间[1,??)上是增函数的概率． ?y?0?x2y2??1上一点，P(1,?1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点． 17．已知Q是椭圆 4322（1）若QF1?QF2?4，求cos∠F1QF2的值； （2）求QP?QF2的最大值，并求出此时Q点坐标． 18．为响应党的十八大提出的文化强国建设的号召，某县政府计划建立一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S的矩形CDEF文化园展厅，如图点C、D在底边AB上，E、F分别在腰OB、OA上，已知OA=OB=30米，AB=302米，OE= x米，x?[14,20]. （1）试用x表示S，并求S的取值范围； （2）若矩形CDEF展厅的每平方米造价为O 37k，绿化 SF E （图中阴影部分）的每平方米造价为值时总造价W最低. 12k（k为正常数），求总造价W关于S的函数W=f(S)，并求当OE为何SA B C D 19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF?平面ABCD，EF//AB， AD?2,AB?AF?2EF?1,点P在棱DF上。 （1） 若P是棱DF的中点， ①求证：BF∥平面ACP； ②求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D?AP?C的余弦值为 6，求PF的长度. 3(20．已知左焦点为F1(?22,0)的椭圆过点 圆于P,Q两点． (1) 求椭圆的标准方程； 322,)，过上顶点A作两条互相垂直的动弦AP,AQ交椭22(2) 若动弦AP所在直线的斜率为1，求直角三角形APQ的面积； (3) 试问动直线PQ是否过定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由． 一、 填空题（每题5分，共70分） 1． 10 ；2． 既不充分也不必要 ；3． 5 ；4． ；5． 1 105 ； 3y??5x6． ；7． 9 ；8． ；9． ；10． ；11． -1或5 ；12． ；13． (-∞,4] ；14． [4,9) . 二、解答题 17．（本题14分） 解 （1）QQF1?QF2?4,QF12?QF22?453 ,QF2?22QF12?QF22?F1F223 ?cos?FQF2??2QF1?QF25 ?QF1?QF2?1 ?QF1?---------------7分 (2)QP?QF2?PQ?4?QF1 ?4?(PQ?QF1) ?4+PF1?4?5 ------12分 1??1?3535?3?y??(x?1)联立直线PF1和椭圆方程??Q(,) 2----14分 4822??3x?4y?12---------------10分 ---------------16分 ②设异面直线BE与CP所成角为?，uuur1 QBE?(?,0,1), 2 uuuruur45?cos??cos?BE,CP??.15 uuruuruuuruuuruur (2)设FP=?FD=(0,2?,-?),AP=AF+FP=(0,2?,1-?),??[0,1] ur 设平面ACP的一个法向量为m=(x,y,z),uuurur?r2??AC?m?0,u??uu?m?(-2,1,),urur ??1??AP?m?0 uuur 又Q平面DAP的法向量AB=(1,0,0), uuurur61 ?cos?AB,m??,??? 33 uuur21?FP?(0,,?), 33?PF? 5.3 20．（本题16分） 解： ---------------11分 ---------------13分 ---------------16分 4(3)定点坐标为M(0,-)5方法一:AP:y?kx?1, AQ:y??1x?1k?y?kx?122??2?(1?9k)x?18kx?0,2x?9y?9?18k1?9k218kk2?9?P(?,),同理Q(2,),1?9k21?9k2k?9k2?91?9k2k2?9?22k2?11?9kk?9?kPQ??18k18k10k??221?9kk?91?9k2k2?118kk2?14直线PQ的方程为：y??(x?),即y?x-，1?9k210k1?9k210k54 ?直线PQ过定点M(0,-).5 2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案 说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 （60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 ．命题“?x?R,cosx?1”的否定是 A．?x?R,cosx?1 C．?x?R,cos?1 B．?x?R,cosx?1 D．?x?R,cosx?1 （ ） D．10 （ ） （ ） x2y2??1的焦距为2，则m的取值是 2 ．椭圆 m6A．7 2B．5 2C．5或7 3 ．c?0是方程 ax?y?c 表示椭圆或双曲线的 A．充分不必要条件 C．充要条件 2B．必要不充分条件 D．不充分不必要条件 4 ．过（0，1）作直线，使它与抛物线y?4x仅有一个公共点，这样的直线有（ ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 →5 ．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的法向量为a＝(2, –2, 1), 已知P(－1, 3, 2)，则P到 平面OAB的距离等于 A．4 2（ ） C．3 D．1 B．2 6 ．已知F是抛物线y?x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|?|BF|=3,则线段AB的中点到y轴 的距离为 A． （ ） B．1 23 4C． 5 4D． 7 4（ ） y27 ．与双曲线x??1有共同的渐近线,且经过点P(1,4)的双曲线方程为 4y2x2A．??1 123y2B．2x??1 162x2y2C．??1 312y2D．?x??1 828 ．已知F1、F2为双曲线C:x2?y2?1的左、右焦点,点P在C上,?F1PF2?60?,则P到x轴的距离为 A． （ ） 3 2B． 6 2C．3 D．6 x2y2 22 22 ?9 ．P为椭圆=1上一点,M、N分别是圆(x+3)+y=4和(x-3)+y=1上的点,则|PM|+|PN|的取值2516范围是 （ ） 13? A．?7，15? B．?10，13? C．?10，15? D．?7，x2y210 ．已知椭圆2?2?1 (a?b?0),A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F为椭圆的 ab一个焦点. 若AB?BF,则该椭圆的离心率为 A． （ ） 5?1 25?1 4B． 5?1 25?1 4C．D．x2y211．设F1、F2分别为双曲线2?2?1(a＞0,b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足 abPF2?F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （ ） A．3x?4y?0 B．3x?5y?0 C．4x?3y?0 D．5x?4y?0 （ ） 12．若直线y?x?b与曲线y?3?4x?x2有公共点,则b的取值范围是 A．[?1,1?22] C．[1?22,3] B．[1?22,1?22] D．[1?2,3] 第Ⅱ卷 （90分） 二、填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在三棱锥P—ABC中,PA?底面ABC,AC?BC,PA?AC?BC,则两直线PC与AB所成角的大小是 ______. 14 ．已知命题p“不等式|x|?|x?1|?m的解集为R”命题q“f(x)??(5?2m)是减函数.”若“p 或q”为真命题,同时“p且q”为假命题,则实数m的取值范围是_______. 15．以下几个命题中其中真命题的序号为_________________(写出所有真命题的序号) ①设A、B为两个定点,k为非零常数,|PA|?|PB|?k,则动点P的轨迹为双曲线; ②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP?x1(OA?OB),则动点P的轨迹为椭圆; 2 x2y2x2??1与椭圆?y2?1有相同的焦点. ③双曲线 25935④在平面内,到定点(2,1)的距离与到定直线3x?4y?10?0的距离相等的点的轨迹是抛物线; x2?y2?1的左、右焦点,点A,B在椭圆上,若F1A?5F2B,则点A的坐标是16．设F1,F2分别为椭圆3__________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 ．（本小题满分10分） 2已知p：?x?8x?20?0，q：x?2x?1?m?0(m?0)． 22（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 18．(本小题满分12分) x2y2383椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率是，它被直线x?y?1?0截得的弦长是，求椭圆的方程． 35ab 19．(本小题满分12分) 设抛物线y=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC ∥x轴,证明直线AC经过原点O. 2 20 ．(本小题满分12分) 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为 AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1 （Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成 的角的大小 21 ．(本小题满分12分) 如图,平面PAC?平面ABC,?ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA, B A C B1 D E A1 C1 PB,AC的中点,AC?16,PA?PC?10. (I)设G是OC的中点,证明FG//平面BOE; (II)证明在?ABO内存在一点M,使FM?平面BOE,并 求点 M到OA,OB的距离. 22 ．(本小题满分12分) 如图，动点M到两定点A(?1,0)、B(2,0)构成?MAB，且?MBA?2?MAB，设动点M的轨迹为C。 （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设直线y??2x?m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点 Q、R，且|PQ|?|PR|，求 一、 选择题 |PR|的取值范围。 |PQ|yMAOBx1. BCBCB CABAB CC 二、填空题 13 60? 14.1?m?2； 15.③ 16.(0,?1) 三、解答题 17. 解：P：?2?x?10，Q：1?m?x?1?m …………………2分 ⑴∵P是Q的充分不必要条件， ?m?0,∴??2,10?是?1?m,1?m?的真子集． ???1?m??2, ?m?9． ?1?m?10,?∴实数m的取值范围为m?9．…………………7分 ⑵∵“非P”是“非Q”的充分不必要条件， ∴Q是P的充分不必要条件． ?m?0,???1?m??2,?0?m?3． ∴实数m的取值范围为0?m?3．……12分 ?1?m?10,?c3c2118．解： ∵e??，即2?，?a2?3c2 a33ax2y2∴b?a?c?2c ∴椭圆方程可写为2?2?1 …………………2分 3c2c2222将直线方程x?y?1?0代入椭圆方程，消去y，整理得 63?6c2 …………………6分 5x?6x?3?6c?0 依韦达定理得x1?x2?，x1x2?5522833?6c2?6?22∴ ?1?1x1?x2?2?(x1?x2)?4x1x2?2????4?555??2?72?120?240c2x2y222 解得c＝1 ∴a＝3，b＝2． ∴椭圆方程为??1……12分 53219. 证如图所示,因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F( x=my+ p,0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为2p.…………………2分 2代入抛物线方程得 y2－2pmy－p2=0. 若记A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2=－p2…………7分. 因为BC∥x轴，且点C在准线x=－故直线CO的斜率为k= pp上，所以点C的坐标为(－,y2). 22y22py1==, py1x1?2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O. …………………12分 20. 解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF 1B1B，从而EFDA。 2 连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。…………………5分 （Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=60. 设AC=2，则AG=0. 2。又AB=2，BC=22，故AF=2。 3由AB?AD?AG?BD得2AD=2.AD2?22，解得AD=2。…………………9分 3故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。 连接CH，则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角。. 因ADEF为正方形，AD=2，故EH=1，又EC= 0 1B1C=2， 2所以∠ECH=30，即B1C与平面BCD所成的角为30. …………………12分 解法二： （Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所直角坐标系A—xyz。 设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则B1（1，0，（ 2c）,E示的 0 1b，，c）. 22? ???1b于是DE=（，，0），BC=（-1，b,0）.由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC， DE?BC=0，求得b=1， 22所以 AB=AC。…………………5分 （Ⅱ）设平面BCD的法向量AN?(x,y,z),则AN?BC?0,AN?BD?0. 又BC=（-1，1， 0）， ????????x?y?0 BD=（-1，0，c）,故??x?cz?0??1?1令x=1, 则y=1, z=,AN=(1,1, ). cc又平面ABD的法向量AC=（0，1，0） AC=60°， 由二面角A?BD?C为60°知，AN，故 AN?AC?AN?AC?cos60°，求得c?12 …………………9分 ?1，2）（1，1，2）于是 AN? ， CB1?(1， cosAN，CB1?AN?CB1AN?CB1?1， 2AN，CB1?60° 所以B1C与平面BCD所成的角为30°…………………12分 21. 证明(I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线 为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O?xyz,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则 z y x O?0,0,0?,A(0,?8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,?4,3),F?4,0,3?,由题意得,G?0,4,0?,因OB?(8,0,0),OE?(0,?4,3),因此平面BOE的法向量为n?(0,3,4),FG?(?4,4,?3得 n?FG?0,又直线FG不在平面BOE内,因此有FG//平面BOE…………………6分 (II)设点M的坐标为?x0,y0,0?,则FM?(x0?4,y0,?3),因为FM?平面BOE,所以有FM//n,因此有x0?4,y0??9?9?,即点M的坐标为?4,?,0?,在平面直角坐标系xoy中,?AOB的内部区域满 4?4??x?0?足不等式组?y?0,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在?ABO内存在一点M,使 ?x?y?8?FM?平面BOE,由点M的坐标得点M到OA,OB的距离为4,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22. 解（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,y?0. 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3） 当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB, |y||y|x?1??2tan?MAB|y|2x?2有tan∠MBA=,即1?() 2x?11?tan?MAB29.…………………12分4化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3） 综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）…………………5分 ?y??2x?m22x?4mx?m?3?0。(II)由方程?2消去y，可得（*） 2?3x?y?3?0由题意，方程（*）有两根且均在（1，+?）内，设f(x)?x?4mx?m?3 22??4m??2?1??22所以?f(1)?1?4m?m?3?0 ???(?4m)2?4(m2?3)?0???解得，m>1,且m?2 设Q、R的坐标分别为(x0,y0),(xR,yR)，由PQ?PR有 xR?2m?3(m2?1),x0?2m?3(m2?1) 1)2PRxR2m?3(m?1)4m?????1?所以 2PQxQ2m?3(m?1)112?3(1?2)2?3(1?2)mm22?3(1?由m>1，且m?2，有 1??1?42?3(1?1)m2?7?43,且?1??7. 12?（31?2）m4所以 PR的取值范围是?1,7??(7,7?43)................................................ 12分 PQ 2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案 命题：邓军民（广州二中） 审题：程汉波 本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填涂在答卷上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答卷上，写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． （1）若集合A?yy?2?x?，B?{x|x2?2x?3?0,x?R}，那么AB= ?1? （A）?0,3? （B）??1,3? （C）?3,??? （D）???，2（2）已知命题p:?x?R,x?2x?4?0，则?p为 ?3,??? 2（A）?x?R,x?2x?4?0 （B）?x0?R,x0?2x0?4?0 2（C）?x?R,x?2x?4?0 （D）?x0?R,x0?2x0?4?0 22?13?ab?a??1,0（3）已知向量??,??2,2??，则向量与b的夹角为 ??（A） ? 62（B） 5? 6（C） ? 3（D） 2? 3（4）已知函数f?x??x?a(b?1)x?a?b(a,b?R)，则“a?0”是“f?x?为偶函数”的 （A）充分不必要条件 （C）充要条件 （5）已知函数f?x??sin??x???（其中??将g?x??sin2x的图像 （B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ?2）的图像如图1所示，为了得到f(x)的图像，则只需 ?7?x?? （A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度 33 （C）向左平移 图1 ??个单位长度 （D）向右平移个单位长度 662（6）关于x的方程x?x?q?0(q?[0,1])有实根的概率为 （A） 1213 （B） （C） （D） 3344（7）如图2所示,程序框图的输出结果是s?填入的关于n的判断条件是 11，那么判断框中应 12（A）n?8? （B）n?8? （C）n?10? （D）n?10? （8）直线x?2y?5?截得的弦长为 5?0被圆x2?y2?2x?4y?0 （A）1 （B）2 （C）4 （D）46 （9）设椭圆的两个焦点分别为F1和F2, 过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若?PF1F2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为 （A）2?2 （B） 2?12 （C） （D）2?1 225 （10）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示， 则这个四棱锥的体积是 （A）2 （B）4 （C）8 （D）12 （11）数列?an?满足a1?2，an?1?2 2 1 1 正（主）视图 侧（左）视图 1(n?N*)，则a2016? 1?an （A）?2 （B）?1 （C）2 （D） 1 24 图3 俯视图 ì?2-|x|,x?2（12）已知函数f(x)=í，函数g(x)=3-f(2-x)，则函数y=f(x)-g(x)的零点的个 2(x-2),x>2??数为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． ?x?2y?1 ? （13）已知变量x,y满足约束条件?x?y?1，则z?x?2y的最大值为 ． ?y?1?0? （14）已知倾斜角为?的直线l与直线x?2y?3?0垂直，则 sin??cos?? ． sin??cos?x2y2（15）已知双曲线C与双曲线??1有共同的渐近线，且C经过点M(?3,23)，则双曲线C的实轴 916长为 ． 4x?3y?16?0和直线l2：x??1，抛物线y?4x上一动点P到直线l1的距离为d1，（16）已知直线l1： 动点P到直线l2的距离为d2，则d1?d2的最小值为 ． 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 2在?ABC中,已知A??4，cosB?4． 5 (Ⅰ) 求cosC的值； (Ⅱ) 若BC?10,D为AB的中点,求CD的长． （18）（本小题满分12分） 已知等差数列?an?的首项a1?1，公差d?0，且a2,a5,a14成等比数列． (Ⅰ) 求数列?an?的通项公式； (Ⅱ) 令bn? （19）（本小题满分12分） (Ⅰ) 计算甲班7位学生成绩的方差s2； (Ⅱ) 从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生， 求甲班至少有一名学生的概率． 参考公式： 2方差s?2221?x1?x?x2?x?????xn?x?， ???n?1?an，求数列?bn?的前n项和Sn． an?an?1????xn???其中x? x1?x2?n． （20）（本小题满分12分） 如图5所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1?4， D1C1PB1P为线段B1D1上一点． (Ⅰ) 求证：AC?BP； (Ⅱ) 当P为线段B1D1的中点时，求点A到平面PBC的距离． （21）（本小题满分12分） A1DA图5 CB2已知二次函数f(x)?ax?bx?c，满足f(0)?2，f(x?1)?f(x)?2x?1． (Ⅰ) 求函数f(x)的解析式； (Ⅱ) 若关于x的不等式f(x)?t?0在??1,2?上有解，求实数t的取值范围； (Ⅲ) 若函数g(x)?f(x)?mx的两个零点分别在区间(?1,2)和(2,4)内，求实数m的取值范围． （22）（本小题满分12分） x2y23已知椭圆E2?2?1(a?b?0)过点?0,?1?,且离心率为． ab2（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ） 如图6所示，A,B,D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N?m,k?是否在定直线上， y 若是，求出该直线方程，若不是，说明理由． 文 科 数 学 一、选择题 题号 1 答案 C 二、填空题 13． 1； 14．三、解答题 17．（本小题满分10分） 解：(Ⅰ) 因为cosB?2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 C 9 D 10 B 图6 A D P M O B Q x 11 D 12 A 1； 15．3； 16．4． 3432且B??0,??,所以sinB?1?cosB?．………………………………2分 55?3???B? ?4?所以cosC?cos???A?B??cos??cos3?3?24232． ………………………5分 cosB?sinsinB???????442525102………………………5分） 102（或cosC??cos?A?B????2?7（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC?1?cos2B?1???．………………………………6分 ???10?102??10AB?BCAB7?由正弦定理得，即2,解得AB?14．………………………………8分 2sinAsinC102在?BCD中,BD?7,CD?7?10?2?7?10?所以CD?2224?37，………………………………9分 537．………………………………10分 18．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)∵a2?1?d,a5?1?4d,a14?1?13d，………………………………………3分 且a2,a5,a14成等比数列，??1?4d???1?d??1?13d?， ……………………………………4分 即d?2，………………5分 ∴an?1?(n?1)?2?2n?1. ……………………………………6分 （Ⅱ）bn?211?an??(2n?1)，………………………………………7分 an?an?1(2n?1)(2n?1)1111?Sn?[(1?)?(?)?2335??(11n(1?2n?1)?)]? ………………………………10分 2n?12n?12n?n2．………………………………………12分 2n?119．（本小题满分12分） 解：（I）∵甲班学生的平均分是85， ∴ 92?96?80?80?x?85?79?78?85．………………………………1分 7∴x?5． …………………………………………… 3分 则甲班7位学生成绩的方差为 s?22221??6??7??5?02?02?72?112??40．………………………5分 ?????????7?（II）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B， 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E．…………………………… 6分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：?A,B?,?A,C?,?A,D?, ?A,E?,?B,C?,?B,D?,?B,E?,?C,D?,?C,E?,?D,E?．……………………………8分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况： ?A,B?,?A,C?,?A,D?,?A,E?,?B,C?,?B,D?,?B,E?．…………………………10分 记“甲班至少有一名学生”为事件M，则P?M??7，………………………11分 107．…………12分 10 即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：连结BD,因为ABCD?A1B1C1D1是长方体,且AB?BC?2, 所以四边形ABCD是正方形,所以AC?BD,………………………1分 因为在长方体ABCD?A1B1C1D1中,BB1?平面ABCD,AC?平面ABCD, A1D1PB1C1
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