2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案
（必修5、选修2-1）
说明：1．本试卷共4页，考试时间为120分钟，满分150分；
2．各题均在答题卷指定位置上作答，否则无效；考试结束时，只交回答题卷．
第Ⅰ卷（选择题部分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上)
1．已知a，b，c分别是?ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A?45?，B?60?，b?3，则
a等于
A．2 B．6 C．
2 D．1 2x2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE?AA1?xAB?yAD，则，y的值是 A．x?C．x?
11
，y? 221
，y?1 2
B．x?1，y?
1 2
D．x?1，y?1
3．已知两点F1(?1,0)，F2(1,0)，且F1F2是PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是 1与PF
x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B．??1 C．??1 D．??1 A．169161243344．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9?2a5，a2?2，则a1? A．
5．双曲线3x?y?3的渐近线方程是 A．y??3x B． y??22221 B． C．2 D．2
221x C．y??3x 3 D．y??3x 3?y?0?6．设变量x，y满足约束条件?x?y?1?0，则z?2x?y的最大值为
??x?y?3?0A． 8
B．6
C．4
D．?2
7．下列命题错误的是 ．．
A．命题“若m?0，则方程x?x?m?0有实数根”的逆否命题是“若方程x?x?m?0没有实数
根，则m?0”；
22B．“x?1”是“x?3x?2?0”的充分不必要条件；
C．命题“若xy?0，则x，y中至少有一个为零”的否命题是“若xy?0，则x，y中至多有一个为
零”；
D．对于命题p：?x?R，使得x?x?1?0；则?p：?x?R，均有x?x?1?0．
8．甲、乙两人同时从图书馆走向教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行、跑步的速度一样，则先到教室的是
A．甲 B．乙 C．甲、乙同时到达 D．无法确定
222第Ⅱ卷（非选择题部分）
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上)
9．若关于x的不等式x?4x?a?0的解集是空集，则实数a的取值范围是 ．
10．?ABC中，
22D在边BC上，且BD?2，DC?1，?B?60?，?ADC?150?，则AC的长等
于 ．
11．已知Sn是等差数列?an?的前n项和， 且a1?a3?a5?6，则S5? ．
x2y214??1有共同的焦点，且它们的离心率之和为，则双曲线C的方程12．已知双曲线C与椭圆
9255是 ．
13．过抛物线x?2py(p?0)的焦点F作倾斜角为30?的直线与抛物线分别交于A，B两点（A在y轴左侧），则
2AFBF? ．
x?2y的最小值为 ． xy14．若正数x，y满足2x?y?1?0，则
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．(本小题满分12分)
已知a，b，c分别是?ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c?a?b?ab． (1)求角C的值；
(2)若b?2，?ABC的面积S?
16．（本小题满分12分）
已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1?1，且a3是a1和a9的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式；
22233，求a的值． 2(2)设数列{an}的前n项和为Sn，f(n)?的最大值．
17．（本小题满分14分）
Sn，试问当n为何值时，f(n)最大？并求出f(n)(n?18)Sn?1在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?1，?BAC?90，异面直线A1B与B1C1所成的角等于
0600，设AA1?a．
(1)求a的值；
(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．
18．（本小题满分14分）
设a?R，解关于x的不等式ax?(1?2a)x?2?0．
19．（本小题满分14分）
设数列?an?的前n项和为Sn，q?0，q?1．证明：数列?an?是公比为q的等比数列的充要条件是
2A1 B1 C1 A B B C a1(1?qn)Sn?．
1?q
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B在直线l：x??1上运动，过点B与l垂直的直线和线段
AB的垂直平分线相交于点M．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)过(1)中的轨迹E上的定点P(x0,y0)(y0?0)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1,y1)，
D(x2,y2)两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？
若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
一、选择题(每小题5分，共40分) AACD CBCB
二、填空题(每小题5分，共30分)
y2x2??1 9．???,?2???2,??? 10．7 11．10 12．
41213．
13 14．9 三、解答题
15．解：(1)∵c2?a2?b2?ab
∴cosC?a2?b2?c22ab?ab2ab?12 ………4分 ∴C?60? ………6分 (2)由S?12absinC?332及b?2，C?60? 得 12?2asin60??332 ………10分 解得 a?3 ………12分
16．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a3?1?2da9?1?8d ………2分
∵a3是a1和a9的等比中项
∴a223?a1?a9，即(1?2d)?1?(1?8d) ………3分 ∵d?0
∴d?1 ………4分 ∴an?1?(n?1)?1?n ………5分 (2)由(1)可得a(1?n)n?n，Snn?2 ………6分 ∴f(n)?S(n?18n)S
n?1n(1?n)?2(n?18)(n?1)(n?2) 2?1 n?36 ………8分
n?20?112?20
?132 ………10分 当且仅当n?36n，即n?6时，f(n)取得最大值132． ………12分 17．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，（a?0） ………1分
∴B1C1?(?1,1,0)，A1B?(1,0,?a) ∴ B1C1?A1B??1 ………3分
A1(0,0,a)∵异面直线A1B与B1C1所成的角60
0∴A1B?B1C1A1B?B1C1?cos60? 即
?11?a2?2?1 ………5分 2又a?0，所以 a?1 ………6分
B A C B1 z A1 C1 y x (2)设平面A1BC1的一个法向量为n?(x,y,z)，则
n?A1B，n?A1C1，即n?A1B?0且n?A1C1?0
又A1B?(1,0,?1)，A1C1?(0,1,0) ∴??x?z?0，不妨取n?(1,0,1) ………8分
?y?0同理得平面BB1C1的一个法向量m?(1,1,0) ………10分 设m与n的夹角为?，则cos????m?nm?n?12?2?1 ………12分 2∴??60 ………13分 ∴平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60 ……14分
18．解：(1)若a?0，则不等式化为x?2?0，解得x?2 ………2分
(2)若a?0，则方程的两根分别为2和?①当a??②当a??③当?001 ………4分 a11时，解不等式得??x?2 ………6分 2a1时，不等式的解集为? ………8分 211?a?0时，解不等式得2?x?? ………10分 2a1或x?2 ………12分 a④当a?0时，解不等式得x??综上所述，当a??11时，不等式的解集为?x??x?2?； 2a
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