第二十章 曲线积分与曲面积分

第二十章 曲线积分与曲面积分

1 第一型曲线积分与曲面积分

1．对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质． 2．计算下列第一型曲线积分： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

??L(x2?y2)ds，其中L是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形；

???Lx2?y2ds，其中L是圆周x2?y2?ax；

xyzds，其中L为螺线x?acost,y?asint,z?bt(0?a?b),0?t?2?； (x2?y2?z2)ds，其中L与(3)相同；

(x?y)ds，其中L为内摆线x?y?a；

4343LL232323L??Ly2ds，其中L为摆线的一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost),0?t?2?； xyds，其中L为球面x2?y2?z2?a2与平面x?y?z?0的交线；

L?(xy?yz?zx)ds，其中L同(7)；

L?Lxyzds，其中L是曲线x?t,y?L212t3,z?t2(0?t?1)； 32(10)

?2y2?z2ds，其中L是x2?y2?z2?a2与x?y相交的圆周．

3．计算下列第一型曲面积分： (1)

2222x?y?z?1的边界曲面； (x?y)dSS，其中是立体??S(2) (3) (4)

dS222S，其中为柱面被平面z?0和z?H所截取的部分； x?y?R22??x?yS??|xS2S3y2z|dS，其中S为曲面z?x2?y2被z?1割下的部分；

??zdS，其中S为螺旋面的一部分：

222222S(x?y)dS，是球面． x?y?z?R??Sx?ucosv,y?usinv,z?v (0?u?a,0?v??2；)

(5)

4．设曲线L的方程为

， x?etcost,y?etsint,z?et (0?t?t0)它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量．

5．设有一质量分布不均匀的半圆弧x?rcos?,y?rsin?(0????)，其线密度

??a?(a为常数)，求它对原点(0，0)处质量为m的质点的引力．

6．求螺线的一支L：x?acost,y?asint,z?ht(0?t?2?)对x轴的转动惯量2?I??(y2?z2)ds．设此螺线的线密度是均匀的．

L7．求抛物面壳z?12(x?y2)，0?z?1的质量．设此壳的密度??z． 28．计算球面三角形x2?y2?z2?a2，x?0,y?0,z?0的围线的重心坐标．设线密度??1．

9．求均匀球壳x2?y2?z2?a2(z?0)对z轴的转动惯量． 10．求均匀球面z?a2?x2?y2(x?0,y?0,x?y?a)的重心坐标．

11．若曲线以极坐标给出：???(?)(?1????2)，试给出计算并用此公式计算下列曲线积分：

(1) (2)

?Lf(x,y)ds的公式，

??Lex2?y2ds，其中L是曲线??a(0????4)；

Lxds，其中L是对数螺线??aek?(k?0)在圆r?a内的部分．

12．求密度???0的截圆锥面x?rcos?,y?rsin?,z?r(0???2?,0?b?r?a)对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当b?0时，结果如何？

13．计算F(t)???f(x,y,z)dS，其中S是一平面x?y?z?t，而

S222222??1?x?y?z, 当x?y?z?1,f(x,y,z)??. 222?? 0, 当x?y?z?1.

2 第二型曲线积分与曲面积分

1．计算下列第二型曲线积分： (1)

?(2a?y)dx?dy，其中L为摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost),(0?t?2?)沿tL增加的方向；

(2)

?xdx?ydy222L，其中为圆周依逆时针方向； dsx?y?a?Lx2?y2(3) (4) (5) (6)

?Lxdx?ydy?zdz，其中L为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段； (x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy，L为y?x2从(1,1)到(-1,1)；

ydx?xdy?(x2?y2)dz，L为曲线x?et,y?e?t,z?at从(1,1,0)到(e,e?1,a)；

2?L?L?(xL?y2)dx?(x2?y2)dy，L为以A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1)为顶点的正方

形沿逆时针方向．

2．计算曲线积分

?L的方向为逆时针方向；

L(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz．

(1) L为球面三角形x2?y2?z2?1，x?0,y?0,z?0的边界线，从球的外测看去，

(2) L是球面x2?y2?z2?a2和柱面x2?y2?ax(a?0)的交线位于Oxy平面上方的部分，从x轴上(b,0,0)(b?a)点看去，L是顺时针方向．

3．求闭曲线L上的第二型曲线积分

??Lydx?xdy，

x2?y2222(1) L为圆x?y?a，逆时针方向；

x2y2(2) L为椭圆2?2?1，顺时针方向；

ab(3) L为以(0,0)为中心，边长为a，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向；

(4) L是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)为顶点的三角形，顺时针方向．

4．求力场F对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线L从A点运动到B点： (1) F?(x?2xy,y?2xy)，L为平面曲线y?x，A(0,0),B(1,1)； (2) F?(x?y,xy)，L为平面曲线y?1?|1?x|，A(0,0),B(2,0)；

23(3) F?(x?y,y?z,z?x)，L的矢量形式为r(t)?ti?tj?tk，A(0,0,0),B(1,1,1)；

222222(4) F?(y,z,x)，L的参数式为x??cost,y??sint,z??t（?,?,?为正数），

A(?,0,0),B(?,0,2??)．

5．设P,Q,R在L上连续，L为光滑弧段，弧长为l，证明：

|?Pdx?Qdy?Rdz|?Ml．

L其中M?max(x,y,z)?L?P2?Q2?R2．

?6．设光滑闭曲线L在光滑曲面S上，S的方程为z?f(x,y)，曲线L在Oxy平面上的投影曲线为l，函数P(x,y,z)在L上连续，证明：

?P(x,y,z)dx? ?P(x,y,f(x,y))dx．

Ll7．计算I??Lxyzdz，其中L：x2?y2?z2?1与y?z相交的圆，其方向按曲线依次

经过1,2,7,8卦限．

8．计算下列第二型曲面积分：

(1)

??y(x?z)dydz?xdzdx?(yS22?xz)dxdy，其中S为x?y?z?0，x?y?z?a六个平面所围的正立方体的外测；

(2)

??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy，其中S是以原点为中心，边长为2的

S正立方体表面的外测；

x2y2z2(3) ??yzdzdx，S为2?2?2?1的上半部分的上测；

abcS(4) 外测；

(5)

22Szdxdy?xdydz?ydzdx，为柱面x?y?1被平面z?0及z?3所截部分的??S??xydydz?yzdzdx?xzdxdy，S是由平面x?y?z?0和x?y?z?1所围的四

S3332222Sxdydz?ydzdx?zdxdy，为球面的外测； x?y?z?a??S2222222Sxdydz?ydzdx?zdxdy，是球面的外测． (x?a)?(y?b)?(z?c)?R??S面体表面的外测；

(6) (7)

9．设某流体的流速为v?(k,y,0)，求单位时间内从球面x?y?z?4的内部流过球面的流量．

10．设流体的流速为v?(xy,0,zx)，求穿过柱面x?y?a(?h?z?h)外测的流量．

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