2(1?2n)n+1
Sm=2+2+2+…+2==2-2.
1?22
3
n
（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）
已知{an}是各项均为正数的等比数列，且
a1?a2?2(11111?)，a3?a4?a5?64(??)
a3a4a5a1a2（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?(an?12)，求数列{bn}的前n项和Tn。 an【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于
a1与d的方程求得a1与d，可求得数列的通项公式。
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
（2010江西理数）22. （本小题满分14分） 证明以下命题：
（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b （2） 存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an2，bn2，cn2成等差数列。 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证a?c?2b，；类似勾股数进行拼凑。 证明：考虑到结构特征，取特值12,52,72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。 2222222证明：当an成等差数列，则bn， ，bn，cn?an?cn?bn222222分解得：(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn) 选取关于n的一个多项式，4n(n?1)做两种途径的分解 24n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n2?2n)(2n?2)4n(n2?1) ?an?n2?2n?1?2对比目标式，构造?bn?n?1(n?4)，由第一问结论得，等差数列成立， ?c?n2?2n?1?n考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m，n，若△ m ， △ n相似：则三边对应成比例 m2?2m?1m2?1m2?2m?1?2?2， 2n?2n?1n?1n?2n?1由比例的性质得： （2010安徽文数）（21）（本小题满分13分) 设C1,C2,?,Cn,?是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线 m?1m?1??m?n，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 n?1n?1y?3x相切，对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn?1相互3外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列. (Ⅰ)证明：{rn}为等比数列； （Ⅱ）设r1?1，求数列{}的前n项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力. 【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设Cn的圆心为(?n,0)，得?n?2rn，同理得结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{rn}中rn?1?n?1?2rn?1， 与rn的关系，证明{rn}为等比数列；（2）利用（1）的结论求{rn}的通项公式，代入数列然后用错位相减法求和. nrnn，rn331x的倾斜角记为,则有tan?=,sin??,332r1设Cn的圆心为（?n，0），则由题意得知n?，得?n?2rn；同理?n2解：（1）将直线y=?n+1?2rn+1，从而?n+1??n?rn?rn+1?2rn+1，将?n?2rn代入，解得rn+1?3rn故rn为公比q?3的等比数列。（?）由于rn?1，q?3，故rn?3n?1，从而记Sn?12n??.....?,则有r1r2rnn?n*31?n，rnSn?1?2*3?1?3*3?2?......n*31?nSn?1*3?1?2*3?2?......?(n?1)*31?n?n*3?n3①?②,得2Sn?1?3?1?3?2?...?31?n?n*3?n31?3?n33??n*3?n??(n?)*3?n,22239139?(2n?3)*31?n1?n?Sn??(n?)*3?4224 【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项an与an?1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和Sn乘以公比，然后错位相减解决. （2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ） 已知?an?是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为?an?的前n项和. （Ⅰ）求通项an及Sn； （Ⅱ）设?bn?an?是首项为1，公比为3的等比数列，求数列?bn?的通项公式及其前n项和Tn. （2010浙江文数）（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0。 （Ⅰ）若S5=5，求S6及a1； （Ⅱ）求d的取值范围。 （2010重庆理数）（21）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分） 在数列?an?中，a1=1，an?1?can?c（I） （II） 求?an?的通项公式； 若对一切k?N*有a2k?azk?1，求c的取值范围。 n?1?2n?1??n?N*?，其中实数c?0。
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