高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B版
（理）
【本讲教育信息】
一、教学内容：
选修2—1 空间向量及其运算
二、教学目标：
1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
??OB?OA?AB?a?b
??BA?OA?OB?a?b
?OP??a(??R)
运算律：
????（1）加法交换律：a?b?b?a
??????（2）加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)
????（3）数乘分配律：?(a?b)??a??b
??????3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实
??数?，使a＝λb.
4．共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是
存在有序实数组(x,y)，使得p?xa?yb。
5．空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p?xa?yb?zc 6．夹角
定义：a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作?a,b? 规定：0??a,b???
特别地，如果?a,b??0，那么a与b同向；如果?a,b???，那么a与b反向；如果
?a,b??90?，那么a与b垂直，记作a?b。
7．数量积
（1）设a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos?a,b?叫作向量a,b的数量积，记作a?b，即a?b＝|a||b|cos?a,b? （2）夹角：
（3）空间向量数量积的性质：
①a?e?|a|cos?a,e?． ②a?b?a?b?0． ③|a|?a?a．
（4）空间向量数量积运算律： ①(?a)?b??(a?b)?a?(?b)． ②a?b?b?a（交换律）．
③a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）． 8．空间向量的直角坐标运算律
（1）若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， 则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，
2．
a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，
?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，
a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)， a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0
（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）模长公式：若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， 则|a|?222222a?a?a1?a2?a3，|b|?b?b?b1?b2?b3．
（4）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)， 则dA,B?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2．
（5）设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3），则AB的中点坐标为(
a1?b1a2?b2a3?b3,,) 222【典型例题】
例1. 已知A（3，1，3），B（1，5，0），求：
（1）线段AB的中点坐标和长度；
（2）到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件 解：（1）设M是线段AB的中点，则OM?13(OA?OB)?(2,3,)． 223∴AB的中点坐标是(2,3,)，
2AB?(?2,4,?3)
|AB|?(?2)2?42?(?3)2?29．
（2）∵ 点P(x,y,z)到A,B两点的距离相等，
则(x?3)2?(y?1)2?(z?3)2?(x?1)2?(y?5)2?(z?0)2， 化简得：4x?8y?6z?7?0，
所以，到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件是4x?8y?6z?7?0．
点评：到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点P的坐标x,y,z满足的条件4x?8y?6z?7?0的系数构成一个向量a?(4,?8,6)，发现与AB?(?2,4,?3)共线。
例2. 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角
11BD，AN?AE．求证：MN//平面CDE． 33分析：要证明MN//平面CDE，只需证明向量NM可以用平面CDE内的两个不共线的向量DE和DC线性表示．
1证明：如图，因为M在BD上，且BM?BD，
3111所以MB?DB?DA?AB．
33311同理AN?AD?DE，又CD?BA??AB，
33所以MN?MB?BA?AN
1111?(DA?AB)?BA?(AD?DE) 33332121?BA?DE?CD?DE． 3333又CD与DE不共线，
根据共面向量定理，可知MN，CD，DE共面． 由于MN不在平面CDE内， 所以MN//平面CDE．
线BD，AE上，且BM?
例3. 已知三角形的顶点是A(1,?1,1)，B(2,1,?1)，C(?1,?1,?2)，试求这个三角形的面积。
1分析：可用公式S?|AB|?|AC|?sinA来求面积 2解：∵AB?(1,2,?2)，AC?(?2,0,?3)，
∴|AB|?12?22?(?2)2?3，|AC|?(?2)2?0?(?3)2?13，
AB?AC?(1,2,?2)?(?2,0,?3)??2?6?4，
∴cosA?cos?AB,AC??AB?AC4413，
??39|AB|?|AC|3?1313?101 39sinA?sin?AB,AC??1?cos2?AB,AC??∴所以，S?ABC?
1101． |AB|?|AC|?sinA?22例4. 如图，在空间四边形OABC中，?OAC?45，OA?8，AB?6，AC?4，BC?5，
?OAB?60，求OA与BC的夹角的余弦值。
解：∵BC?AC?AB， ∴OA?BC?OA?AC?OA?AB
?|OA|?|AC|?cos?OA,AC??|OA|?|AB|?cos?OA,AB?
?8?4?cos135?8?6?cos120?24?162 OA?BC24?1623?22∴cos?OA,BC??， ??8?55|OA|?|BC|所以，OA与BC的夹角的余弦值为
3?22． 5说明：由图形知向量的夹角时易出错，如?OA,AC??135易错写成
?OA,AC??45，
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