第十二讲 方程与函数
方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．
方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答． 【例题求解】
【例1】 若关于的方程1?x?mx有解，则实数m的取值范围 ．
思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数y?1?x，y?mx函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围．
【例2】设关于x的方程ax2?(a?2)x?9a?0有两个不相等的实数根x1，x2 ，且x1<1 117575 思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与x轴的交点满足x1<1 61 【例3】 已知抛物线y?x2?(1?2a)x?a2?0 (a?0)与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)( x1≠x2)． (1)求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧； (2)若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求a的值． 思路点拨 x1、x2是方程x2?(1?2a)x?a2?0的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点． 【例4】 抛物线y?125x?2(m?)x?2(m?1)与y轴的正半轴交于点C，与x轴交于A、B两点，并且点24B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍． (1)求这条抛物线的解析式； (2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由． 思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论． 【例5】 已知抛物线y?x2?px?q上有一点M(，y0)位于x轴下方． (1)求证：此抛物线与轴交于两点； (2)设此抛物线与x轴的交点为A(x1，0)，B(，0)，且x1 思路点拨 对于(1)，即要证p2?4q?0；对于(2)，即要证(x0?x1)(x0?x2)?0． 注：(1)抛物线与x轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识． (2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组． 62 (3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象与x轴交于A（x1，0），B(，0)两点，顶点为C． ①△ABC是直角三角形的充要条件是：△=b2?4ac?4． ②△ABC是等边三角形的充要条件是：△=b2?4ac?12 学历训练 1．已知关于x的函数y?(m?6)x2?2(m?1)x?m?1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ． 2．已知抛物线y?x2?(k?1)x?3k?2与x轴交于A (?，0)，B(?，0)两点，且?2??2?17，则k? ． 3．已知二次函数y=kx+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1 2 －2时，y=l；②当x>x2，时，y>O；③方程kx+l(2k－1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2；④x1<－ 1?4k2l，x2>－l；⑤x2－x1=，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ． k2 4．设函数y?x2?(k?1)x?4(k?5)的图象如图所示，它与x轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k＝( )． A．8 B．一4 C．1l D．一4或11 5．已知：二次函数 y＝x2+bx+c b4c-b2与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－，)， 24AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，则b与c的关系式是 ( ) A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0 C．b2－4c+4=0 D．b2－4c－4=0 6．已知方程x?ax?1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是( ) A．a>-1 B．a＝1 C．a≥1 D．非上述答案 7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C． （1）a、c的符号之间有何关系？ （2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=43，求a、c的值． 63 8．已知：抛物线y?ax2?bx?c过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为0)两点(其中且x1 (2)设此抛物线与y轴交于D点，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的M的坐标． 9．已知抛物线y?123x?mx?2m交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），交y轴于C点，且x1＜0＜x2，221，与x轴分别交于B(x1,0)、C(x2，22倍，求点3?AO?OB?2?12CO?1. （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由. 10．设m是整数，且方程3x2?mx?2?0的两根都大于? 11．函数y?x2?3x?7的图象与函数y?x2?3x?x2?3x?6的图象的交点个数是 ． 12．已知a、则a?c?c?b的值为 ． b为抛物线y?(x?c)(x?c?d)?2与x轴交点的横坐标，a?b，13．是否存在这样的实数k，使得二次方程x2?(2k?1)x?(3k?2)?0有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由． 14．设抛物线y?x2?(2a?1)x?2a? (1)求a的值； (2)求a18?32a?6的值． 15．已知以x为自变量的二次函数y?4x2?8nx?3n?2，该二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标的 5的图象与x轴只有一个交点． 493而小于，则= . 57差的平方等于关于x的方程x2?(7n?6)x?2(n?1)(n?4)?0的一整数根，求n的值． 16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式OC2?OA?OB． (1)求二次函数的解析式； (2)求△ABC的面积． 17．设p是实数，二次函数y?x2?2px?p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）． 64 (1)求证：2px1?x22?3p?0； (2)若A、B两点之间的距离不超过2p?3，求P的最大值． ( 65
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