第三讲 充满活力的韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等.
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法. 【例题求解】
【例1】 已知?、?是方程x2?x?1?0的两个实数根，则代数式?2??(?2?2)的值为 . 思路点拨：所求代数式为?、?的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a、b都是质数，且a2?13a?m?0，b2?13b?m?0，那么 A、
123125125123 B、或2 C、 D、或2 22222222ba
?的值为( ) ab
思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程x2?13x?m?0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件.
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1、x2的对称式，这类问题可通过变形用x1+x2、x1x2表
示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式.
m2【例3】 已知关于x的方程：x?(m?2)x??0
4 (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.
2 (2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2?x1?2，求m的值及相应的x1、x2.
思路点拨：对于(2)，先判定x1、x2的符号特征，并从分类讨论入手.
【例4】 设x1、x2是方程2x2?4mx?2m2?3m?2?0的两个实数根，当m为何值时，x12?x22有最小值?并求出这个最小值.
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的.
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别
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式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性. 【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x2?2mx?(m?)2?127?04的两个根.
(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由.
(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB 思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式. 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性． 12 充满活力的韦达定理学历训练 1、(1)已知x1和x2为一元二次方程2x2?2x?3m?1?0的两个实根，并x1和x2满足不等式则实数m取值范围是 . (2)已知关于x的一元二次方程8x2?(m?1)x?m?7?0有两个负数根，那么实数m的取值范围是 . x1x2?1， x1?x2?42、已知?、?是方程的两个实数根，则代数式?3??2????2??2的值为 . 3、CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2?6x?4?0的两根，则△ABC的面积是 . 4、设x1、x2是关于x的方程x2?px?q?0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2?qx?p?0的两根，则p、q的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3 5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x 的方程x2?7x?c?7?0的两根，那么AB边上的中线长是( ) A． 35 B． C．5 D．2 226、方程x2?px?1997?0恰有两个正整数根x1、x2，则 A．1 B．-l C．?11 D． 22p的值是( ) (x1?1)(x2?1)7、若关于x的一元二次方程的两个实数根满足关系式：x1(x1?1)?x2(x2?1)?(x1?1)(x2?1)，判断 (a?b)2?4是否正确? 8、已知关于x的方程x2?(2k?3)x?k2?1?0. (1) 当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根x1、x2满足：x2?x1?3，求k的值. 9、已知方程x2?px?q?0的两根均为正整数，且p?q?28，那么这个方程两根为 . 10、已知?、?是方程x2?x?1?0的两个根，则?4?3?的值为 . 11、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2x2?12x?m?0的两根，则m的取值范围是 . ba12、两个质数a、b恰好是整系数方程的两个根，则?的值是( ) abA．9413 B． 941394139413 C． D． 1949997 13 13、设方程有一个正根x1，一个负根x2，则以x1、x2为根的一元二次方程为( ) A．x2?3x?m?2?0 B．x2?3x?m?2?0 C．x2?1?4mx?2?0 D．x2?1?4mx?2?0 14、如果方程(x?1)(x2?2x?m)?0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是( ) A．0≤m≤1 B．m≥ 333 C．?m?1 D．≤m≤1 44415、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方程的两个根. (1)求rn的值； 1（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说 3明理由． 16、设m是不小于?1的实数，使得关于x的方程工x2?2(m?2)x?m2?3m?3?0有两个不相等的实数根x1、x2. (1) 若x1?x222mx12mx22??6，求m的值. （2）求的最大值. 1?x11?x2 17、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程 18、设a、b、c为三个不同的实数，使得方程和x2?ax?1?0和x2?bx?c?0有一个相同的实数根，并且使方程x2?x?a?0和x2?cx?b?0也有一个相同的实数根，试求a?b?c的值. 12x?2(n?1)x?m2?12?0两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值. 4 14 参考答案 15
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