数是方程的根为有理数的充要条件．
【例5】 若关于x的方程ax2?2(a?3)x?(a?13)?0至少有一个整数根，求非负整数a的值．
思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程．
学历训练 1．已知关于x的方程(a?1)x2?2x?a?1?0的根都是整数，那么符合条件的整数a有 ．
2．已知方程x2?1999x?m?0有两个质数解，则m＝ ．
3．给出四个命题：①整系数方程ax2?bx?c?0(a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2?bx?c?0(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2?bx?c?0(a≠0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2?bx?c?0没有有理数根，其中真命题是 ．
4．已知关于x的一元二次方程x2?(2a?1)x?a2?0 (a为整数)的两个实数根是x1 、
x1?x2= ．
x2，则
5．设rn为整数，且4 6．已知方程ax2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0 (a≠0)至少有一个整数根，求a的值． 7．求使关于x的方程kx2?(k?1)x?k?1?0的根都是整数的k值． 8．当n为正整数时，关于x的方程2x2?8nx?10x?n2?35n?76?0的两根均为质数，试解此方程． 9．设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值． 10．试求所有这样的正整数a，使得方程ax2?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数解． 11．已知p为质数，使二次方程x2?2px?p2?5p?1?0的两根都是整数，求出p的所有可能值． ?、?，?x2? >0．12．已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1、x2及x1且x1x2 >0，x1 x2?<0,x2?< 0； (1)求证：x1<0,x2<0，x1(2)求证：b?1?c?b?1； (3)求b、c所有可能的值． 21 13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2?2x?m?1?0的根(m为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由． 参考答案 22 第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程 数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．” 转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解． 【例题求解】 8【例1】 若2x2?5x?2?5?0，则2x2?5x?1的值为 ． 2x?5x?1 思路点拨 视2x2?5x为整体，令2x2?5x?y，用换元法求出y即可． 【例2】 若方程p?2x??x有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是( ) A．p??1 B．p?0 C．?1?p?0 D．?1?p?0 思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注p?2x??x?0的隐含制约． 注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等． 解下列方程： （1） x2?3x2x2?2x?8?x2?x?43x2?9x?11； 12 23 (2)(1999?x)3?(x?1998)3?1； 13x?x213?x（3）(x?)?42． x?1x?1 按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从(1999?x)?(x?1998)?1受到启示；对于(3)，设y?13?x，则可导出x?y、xy的结果． x?1 注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换． 2kxkx?1【例4】 若关于x的方程只有一个解(相等的解也算作一个)，试求k的值与方程的?2?x?1x?xx解． 思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值． 注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析． a5a【例5】 已知关于x的方程(x?)2?5x???6有两个根相等，求a的值． xx思路点拨 通过换元可得到两个关于x的含参数a的一元二次方程，利用判别式求出a的值． 注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求． 学历训练 24 1．若关于x的方程 ax?12x?a?1?0有增根，则a的值为 ；若关于x的方程??1 曾＝一1的解x?1x?2为正数，则a的取值范围是 ． 111112．解方程得 ． ??????x(x?1)x(x?1)(x?1)(x?2)(x?9)(x?10)12 3．已知方程3x?2m?4．方程x2?3x?3x?3x?721x?m有一个根是2，则m= ． 2?9的全体实数根的积为( ) A．60 B．一60 C．10 D．一10 xkx5．解关于x的方程不会产生增根，则是的值是( ) ?2?x?1x?1x?1 A．2 B．1 C．不为2或一2 D．无法确定 1116．已知实数x满足x2?2?x??0，那么x?的值为( ) xxx A．1或一2 B．一1或2 C．1 D．一2 7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处； (2)若方程 a1??1(a?b)的解是x1=6，x2=10，求a、b的值．该方程是不是(1)中所给的一列方xx?b程中的一个方程?如果是，它是第几个方程? (3)请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程． 序号 1 2 3 … 8．解下列方程： （1） x2?x?1x2?11x2?x?111（2）2?2?2?0； x?11x?8x?2x?8x?13x?8(3)(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?120； ?2x2?x?2?19 ； 6方 程 61??1 xx?281??1 xx?3101??1 xx?4方程的解 x1= x1=4 x2= x2=6 x2=8 x1=5 … … … (4)2(x2?1)?3(x?)?1． xx2219．已知关于x的方程x?2x?m2?1x2?2x?2m?0，其中m为实数，当m为何值时，方程恰有三个互不相 等的实数根?求出这三个实数根． 2110．方程1??2?2x?x2的解是 ． xx 25
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