(四) 二次函数简单综合问题
|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合
1.[2018·南京] 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点; (2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
|类型2| 二次函数与直线的综合
2.[2019·北京] 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax+bx- 与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.
(1)求点B的坐标(用含a的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点P
|类型3| 二次函数的最值问题
3.[2019·台州] 已知函数y=x+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4).
1
2
2
,-
,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
(1)求b,c满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.
|类型4| 二次函数与平行四边形的综合
4.[2019·孝感节选] 如图T4-1①,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax-2ax-8a与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4).
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,线段AC的长为 ,抛物线的解析式为 . (2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q,使得以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.
2
① 图T4-1
|类型5| 二次函数与相似三角形的综合
5.[2019·镇江] 如图T4-2,二次函数y=-x+4x+5的图象的顶点为D,对称轴是直线l,一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A,且与直线DA关于l的对称直线交于点B.
2
2
(1)点D的坐标是 .
(2)直线l与直线AB交于点C,N是线段DC上一点(不与点D,C重合),点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段
DA,DB分别交于点P,Q,使得△DPQ与△DAB相似.
①当n=时,求DP的长;
②若对于每一个确定的n的值,有且只有一个△DPQ与△DAB相似,请直接写出n的取值范围 .
图T4-2
3
【参考答案】
1.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.
当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.
(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6. 当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方. 2.解:(1)∵抛物线与y轴交于点A,∴令x=0,得y=- , ∴点A的坐标为0,- .
∵点A向右平移2个单位长度,得到点B, ∴点B的坐标为2,- . (2)∵抛物线过点A0,-
和点B2,-2
,由对称性可得,抛物线对称轴为直线x=
=1.
(3)根据题意可知,抛物线y=ax+bx-经过点A0,-
,B2,-
.
①当a>0时,则- <0, 分析图象可得:点P物线没有交点. ②当a<0时,则- >0.
分析图象可得:当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点,此时- ≤2,即a≤- . 综上所述,当a≤-时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
,-在对称轴左侧,抛物线上方,点Q(2,2)在对称轴右侧,抛物线上方,此时线段PQ与抛
3.解:(1)将(-2,4)代入y=x+bx+c, 得4=(-2)-2b+c,∴c=2b, ∴b,c满足的关系式是c=2b. (2)把c=2b代入y=x+bx+c, 得y=x+bx+2b, ∵顶点坐标是(m,n), ∴n=m+bm+2b, 且m=- ,即b=-2m,
∴n=-m-4m. ∴n关于m的函数解析式为n=-m-4m.
4
2
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2
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