力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。
在质点的无限小位移中力所作的功dW?Fcos?dr?F?dr也称为力所作的元功。
（1）当90????0?时，功为正值，即力对质点作正功；当180????90?时，功为负值，即力对质点作了负功。 （2）功的定义也可理解为力对质点所作的功为质点的位移在力方向的分量和力的大小的乘积。 （3）??90?时，力不做功。
（4）功是标量。只有大小，没有方向。
B?r?AF
图3-6 功的定义
2．变力作功
W??dW??F?dr??Fcos?drAABB，
F?Fxi?Fyj?Fzk，dr?dxi?dyj?dzk.
在直角坐标系中，
W??F?dr??(Fxdx?Fydy?Fzdz)AABB.
3．合力的功
根据力的叠加原理F?F1?F2?F3??. 合力的功为
即合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 一对相互作用力的功与参考系无关。 4．功的单位：焦耳（J），1J=N·m 5．功率
AAW??F?dr??(F1?F2?F3??)?dr?W1?W2?W3??BB功随时间的变化率，亦即
P?dWdt.
P?dWdr?Fcos?dtdt.
所以
P?Fvcos?，
平均功率为
P?Wt，
功率单位：瓦特（W）. 二、质点的动能定理
力对质点做功，其效果是使质点的运动状态发生变化。质点动能定理正是反映力做功与质点运动状态变化之间的关系。
bvdrFvbava
图3-7 动能定理
由牛顿第二定律及切向加速度的定义得：
dW?F?dr?Fcos?dr，
Fcos??ma??mdW?mdvdt，
dvdr?mvdvdt. 1212mv2?mv122.
积分可得合外力的功为
W??mvdv?v1v21．动能的定义
Ek?12mv2.
2．质点的动能定理W?Ek2?Ek1，合外力对质点所作的功，等于质
点动能的增量。 3．讨论
（1）动能Ek是标量，仅是状态量v 的单值函数，它是状态量； （2）功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相同，但功是过程量，动能Ek是状态量；功是能量变化的量度； （3）功和能具有普遍意义；
（4）动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参考系，并且
动能Ek也与参考系有关。
（5）由质点的动能定理可知，当合外力做正功时，质点的动能增加；当合外力做负功时，质点的动能减少。亦即质点反抗外力做功是以自身动能的减少为代价，可见动能是质点因运动而具有的做功本领。
（6）动能定理的表达式是一个标量方程，它只涉及质点运动的初态和终态，不问运动过程的细节，因此，在求解某些力学问题时比较方便。
【例3】 一质量为m的小球系在长为l的细绳下端，绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与铅直线成?0角处，然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与铅直线成?角时，小球的速率。
O?0?lTdr??
图3-8 例3图
【解】 （第一步：计算外力所作的功）小球受力如图3-8所示。由分析可知为变力作功
W??F?dr??T?dr??P?drr0r0r0rrrP，
因为 和
?T?dr?0
r0r?rr0rr0P?dr??Pcos?dr??Psin?drr0r0rr，
并且注意到dr??ld?，因此
.
（第二步：用动能定理求小球的速度） 由动能定理，得
?0W??mgsin?dr???mglsin?d??mgl(cos??cos?0)?W?mgl(cos??cos?0)?121212mv?mv0?mv222.
故绳与铅直线成?角时，小球的速率为
v?2gl(cos??cos?0).
第四节 保守力与非保守力 势能
由生活经验知道,从高处落下的重物能够作功，如打桩、高山上的瀑布落下带动发电机发电，这都说明位于高处的重物具有作功本领。 本节将从几种常见力的作功特点出发，引出保守力和非保守力概念，然后介绍势能概念。
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点
1．重力作功
如图3-9所示，重力在任一元位移中对质点所作的元功为：
dW?mg?dr??mgj?(dxi?dyj)??mgdy，
因此质点从a→b过程中重力所作的总功为：
.
若物体沿另一路径adb，结果相同。因此重力的功只与运动物体的始末位置有关，与运动物体所经过的路径无关。这是重力作功的一个重要特点。
haW??dW???mgdy?mg(ha?hb)??(mghb?mgha)hb
图3-9
fxmOxaaxbbx
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