图3-10
?mBdrrAr+drrBrAerm'
图3-11
2．弹性力作功
如图3-10所示，弹性力为fx??kxi，弹性力的功为：
W??fx?dx???kxi?dxi???kxdx?xaxaxaxbxbxb12121212kxa?kxb??(kxb?kxa)2222，
弹性力对小球作的功只与小球的始末位置有关，而与弹性形变的过程
无关。这一特点与重力作功的特点是相同的。 3．万有引力作功
如图3-11所示，假设m'不动，质点m在任一位置处所受的万有引力为
F??Gm'merr2，
其中er为沿位矢r的单位矢量。当m沿路径移动位移元dr时，万有
引力作的功为：
dW?F?dr??Gm'mer?dr2r，
从上图3-11可看出：
er?dr?|er||dr|cos??|dr|cos??dr，
则
dW??Gm'mdr2r.
所以，质点m从点A沿任一路径到达点B的过程中，万有引力作的
功为
W??dW??Gm'm?ABdrrAr2，
rB即
W??Gm'm(11?)rBrA.
上式表明，当质点的质量m'和m均给定时，万有引力作的功只取决于质点m的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。这与重力、弹姓力作功的特点一样。
重力、弹性力、万有引力作功特点的另一种表述：物体沿闭合路径绕行一周，这些力对物体所作的功恒为零。 二、保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
1．保守力和非保守力
力对物体所作的功只与物体的始末位置有关，而与路径无关。或者说物体沿闭合路径绕行一周，这些力对物体所
作的功恒为零。具有这种特性的力统称为保守力，例如重力、弹性力、万有引力、静电力等。没有这种特性的力，统称为非保守力，如摩擦力、爆炸力、安培力等等。
2．保守力作功的数学表达式闭合路径?l，
如图3-11（a）所示，设一物体在保守力作用下由点A沿路径ACB到达点B，或沿路径ADB到达点B. 根据保守力作功与路径无关的特点，有
W?W??F?dr??F?dr，
如果物体沿如图b所示的ACBDA闭合路径运动一周时，保守力对物体作功为：
W??F?dr??F?dr??F?dr，
W??F?dr??F?dr??F?dr?0?F?dr???F?dr注意到，所以有.
W?F?dr?0ACBADBACBADBlACBBDABDAADSlACBADB
图3-12
上式表明，物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为
零。 三、势能
物体具有能量的标志是它能作功，这一结论对质点系也是适用的。若质点系能对其他物体作功或对质点系内的质点作功，就表明质点系具有能量。
由保守力作功的特点得知，不论沿什么路径从初位置到末位置，保守力对质点所作的功总是相同的，功的数值由质点的始末位置决定。所以，可以说质点在保守力场中位于初始点和终止点是处于两个不同的状态，这两个状态间存在着一个确定的差别，这种差别可以用当质点从一个状态转变到另一个状态时，保守力对质点所作的功为一确定值来表示。为了表示质点在不同位置的各个状态间的这种差别，我们说，质点在保守力场中每一位置都存储着一种能量，这种与质点位置有关的能量称为势能。 1．势能差 物体在保守力场中a、b两点的势能EP(a)、EP(b)之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力对它所作的功Wab，即：
EP(a)?EP(a)??F?drab（相当一个定义）.
2．势能EP
选取r0为势能零点，即EP(r0)?0，那么空间某点的势能EP(r)?0等于质点从该点移动到势能零点位置时保守力所作的功，
例如：选取离地面高度y=0处EP(0)?0，则离地面高为y处的重力势
rEP(r)?EP(r)?EP(r0)??F?drr0能为EP?mgy. 选取弹簧原长x=0处EP(0)?0，则形变为x时的弹性势能为
EP?12kx2，
选取两个质点相距r??处，EP(?)?0，则两质点相距r时的引力势能
为
EP??Gmm'r.
3．势能和保守力的微分关系 由
EP(a)?EP(b)??F?drabab，可得
.
即保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。微分表示为
W??F?dr??[EP(b)?EP(a)]???EPF?dr??dEP.
若 FC?Fxi?Fyj?Fzk，则有
dEP??F?dr，
比较得：
?EP?EP?EF??Fx??Fz??Py?y，?x，?z，
即F???EP.
4．讨论
（1）势能是状态的函数：因为在保守力作用下，只要物体的起始和终了位置确定了，保守力所作的功也就确定了，而与所经过的路径无关，所以说，势能是坐标的函数，亦即是状态的函数。
（2）某点处系统的势能只有相对意义，势能的值与势能零点的选取有关。
势能零点也可以任意选取，但以简便为原则，选取不同的势能零点，物体的势能就将具有不同的值。但两点间的势能差则是绝对的，与势能零点的选取无关。
（3）势能是属于系统的：势能是由系统内各物体间相互作用的保守力和相对位置决定的能量，因而它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。同样，弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。习惯上称某物体的势能，这只是叙述上的简便而已。 （4）只有保守力场才能引入势能的概念。 二、势能曲线
当坐标系和势能零点确定后，质点的势能仅是坐标的函数，即
EP?EP(x,y,z)，按此函数画出的势能随坐标变化的曲线，称为势能曲
线。如图3-13所示。
势能曲线是势能随相对位置变化的曲线。它为研究势场中的物体的运动提供了一种形象化的手段。以弹簧振子的势能曲线例，说明势能曲线的应用。
（1）从势能曲线上，可以清晰地看出物体在保守场中运动过程能量的转换关系。EP~x 图中，水平线代表系统的总机械能E，势能小于E的区域（-A到A之间）为物体可以到达的相对位置，当物体到达任意位置x时，系统的势能为EP（如图3-14所示），总机械能E与EP的差值即为该时刻物体的动能Ek .
（2）由势能曲线上各点的斜率大小和正负，可以判定物体所受保
EP?12kx2为
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