守力的大小和方向。
dEPdx得 由
dEPdEP?0?0F?0xdxdxx>0 区间 ，所以；x<0 区间，所以Fx?0，Fx??即曲线上斜率大处Fx大，曲线上斜率小处，Fx小，斜率为零处，Fx =
0 .
图3-13 势能曲线
图3-14 弹性势能
第五节 功能原理 机械能守恒定律
前面讨论的是质点的能量——动能和势能，以及合外力对质点作功引起质点动能改变的动能定理。下面将讨论由多个质点组成的质点系的情况。而系统内的质点，既受到系统内各质点之间相互作用的内力，又可能受到系统外的物体对系统内质点作用的外力。无论内力或外力，都可以是保守力或非保守力。
一、质点系的动能定理
设系统内有n个质点，作用于各个质点的力所作的功，由质点的动能定理可分别得出
W1?Ek1?Ek10，W2?Ek2?Ek20，W3?Ek3?Ek30，
···
i?1i?1以上各式相加可得：i?1，其物理意义是：作用于质点系的力所作的功，等于该质点系的动能增量。
因为系统内的质点所受的力，既有来自系统外的外力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力，所以有
?W??Einnki??Eki0n?W??Wii?1i?1nnexi??Wiin?Wex?Wini?1n，
也就是
.
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功于一切内力作的功之和。这就是质点系的动能定理。
i?1i?1Wex?Win??Eki??Eki0nn二、质点系的功能原理
1．表达式推导
我们将内力区分为保守内力和非保守内力，则
inWin?Wcin?Wnc，
而系统内保守力作的功等于势能增量的负值，即
WinC??(?EPi??EPi0)i?1i?1nn，
则质点系的动能定理可表示为
inWex?Win?Wex?Wcin?Wnc.
即
Wex?Win?E?E0，
这就是质点系的功能原理。 2．表述
质点系统在运动过程中，所有外力的功和系统内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。 3．讨论
功能原理与质点系动能定理不同之处是功能原理将保守内力作的功用势能差来代替。因此，在用功能原理解题的过程中，计算功时，
要注意将内部保守内力的功除外。 三、机械能守恒定律 1．数学表示
exinW?W?0，则有 nc当系统满足
E?E0，
即
(?Eki??EPi）?(?Eki0??EPi0)i?1i?1i?1i?1nnnn.
2．文字表述
如果一个系统只有保守内力做功，其它内力和一切外力都不做功，或所做功的代数和等于零，那末系统内质点间的动能和势能可以互相转换，但它们的总和保持不变。——机械能守恒和转换定律。 3．解题时注意事项
（1）明确系统中的物体；
（2）机械能守恒的前提:只有保守内力做功，其它内力和外力不做功，或它们作功的代数和为零，或可以忽略不计；
（3）只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考系中，即使满足上述条件，但由于惯性力可能做功，所以机械能不一定守恒；
（4）与惯性参考系的选择有关。因为我们知道，内力总是成对出现的，它们作功的和与参考系的选择无关，但是外力作功却与参考系有关，它们作功总和是否为零则决定于参考系的选择。 4．讨论 机械能守恒定律也可以表示为即
?Ei???EP.
(?Eki??Eki0)??(?EPi??EPi0)i?1i?1i?1i?1nnnn.
上式表明，在满足机械能守恒的条件下，系统内各质点的动能和各种势能可以相互转换，但它们的总和（即总机械能）却保持不变。
四、宇宙速度
由地面处发射使物体绕地球运动（人造地球卫星）所需的最小速度，称为第一宇宙速度。使物体脱离地球的引力范围所需的最小速度，称为第二宇宙速度。使物体脱离太阳系所需的最小速度，称为第三宇宙速度。试计算这三种宇宙速度。 1．第一宇宙速度
地球对卫星的引力为：
f?G0mMEr2.
若不计空气阻力，引力即为卫星作圆周运动的向心力
mMEv2G0?m2rr，
化简得
G0MEr. MEmMEG0?mgG?g022RE卫星在地面上时，即RE.
v?代入式得
v?2gREr.
图3-15
这就是卫星在半径为 r 的圆轨道上运转所需的速度，称为环绕速度。
令r?RE=6.37×106m，得第一宇宙速度
v1?gRE=7.91×103m·s-1 .
2．第二宇宙速度
以物体和地球为研究系统。忽略空气阻力，只有保守力做功，所以系统的机械能守恒。设v为物体离开地面时的速度，v?为物体远离地球时的速度。并选取无穷远处为万有引力势能的零点，由机械能守恒定律
mME112mv2?(?G0)?mv??02RE2，
因为v?vmin，v??0，所以得
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