?【解】（1）由??xlim???F(x)?1?A?1??xlim?0?F(x)?得?
xlim?0?F(x)?B??1（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?
P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?
(3) f(x)?F?(x)????e??x,x?0?0,x?0
8.设随机变量X的概率密度为
?x,0?x?1,f（x）=??2?x,1?x?2, ??0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）. 【解】当x<0时F（x）=0
当0≤x<1时F(x)??xx??f(t)dt??0??f(t)dt??0f(t)dt ??x0tdt?x2 2
当1≤x<2时F(x)??x??f(t)dt
??01??f(t)dt??f(t)dt??x01f(t)dt??1x0tdt??1(2?t)dt
1x2?
2?2x?32?2?x2?2?2x?1当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1
??0,x?0?x20?x?1故 F(x)???2,?2??x?2x?1?x?2?21,?1,x?2
9.设随机变量X的密度函数为
9
（1） f(x)=ae-?|x|,λ>0;
?(2) f(x)=?bx,0?x?1,?11?x?2, ?x2,?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1） 由
????|x|?2a??f(x)dx?1知1?????aedx?2a?0e??xdx??
故 a??2
??e??x,x即密度函数为 f(x)????2?0??e?x??2x?0当x≤0时F(x)??xx???f(x)dx??e?xdx?12e?x??2 当x>0时F(x)??x0??x?x??f(x)dx????2edx??x?02e?dx
?1?12e??x 故其分布函数
?1?1e??x,x?F(x)????20
?1??2e?x,x?0(2) 由1???21??f(x)dx??10bxdx??x2dx?b112?2 得 b=1
即X的密度函数为
??x,0?x?1f(x)???12,1?x?2
?x??0,其他当x≤0时F（x）=0 当0 ??xdx?x20x2 当1≤x<2时F(x)??x??f(x)dx??00dx??1x1??0xdx??1x2dx 10 ?31? 2x当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为 ?0,?2?x,?F(x)??2?3?1,?2x?1,? x?00?x?1 1?x?2x?210.设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-??x???). 求：（1）系数A与B； （2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。 1A=1/2，B=解 ○ 12 2 1/2； ○3 f (x)=1/[?(1+x)] ； ○? 11.某公共汽车站从上午7时开始，每15分钟来一辆车，如某乘客到达此站的时间是7时到7时30分之间的均匀分布的随机变量，试求他等车少于5分钟的概率. 解 设乘客于7时过X分钟到达车站，由于X在［0，30］上服从均匀分布，即有 ?1?,f(x)=?30??0,0?x?30,其他. 显然，只有乘客在7∶10到7∶15之间或7∶25到7∶30之间到达车站时，他（或她） 等车的时间才少于5分钟，因此所求概率为 P{10＜X≤15}+P{25＜X≤30}= 3011dx??1030?2530dx=1/3. 15 12.设X~N（3，22）， （1） 求P{2＜X≤5}，P{-4＜X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}; （2） 确定c使P{X＞c}=P{X≤c}. 【解】（1） P(2?X?5)?P??2?3X?35?3???? 22??2?1??1???(1)???????(1)?1???? ?2??2? ?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P???? 22??2 11 ????7??7????????0.9996 ?2??2?P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2) ?X?32?3??X?3?2?3??P???P????2222?????1??5??1??5? ?1???????????????1???? ?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P((2) c=3 X?33-3?)?1??(0)?0.5 22 13.公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X服从?=170(cm),?=6(cm)的正态分布，即X~N（170，62），问车门高度应如何确定？ 解 设车门高度为h(cm)，按设计要求P{X≥h}≤0.01或P{X＜h}≥0.99，因为X~N（170，62），故 P{X＜h}=P??X?170h?170??h?170???≥0.99， ????6??6?6?查表得 ?（2.33）=0.9901＞0.99. 故取 h?170=2.33，即h=184.设计车门高度为184（cm）时，可使成年男子与车门碰6头的机会不超过1%. 14.某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从?(160,20)分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）. 解：记取出的四只电子管寿命分别为X1,X2,X3,X4，所求概率为P，则 2P?P{min(X1,X2,X3,X4)?180} ?P{Xi?180}4?[1?P{Xi?180}]4 i?1,2,3,4 ?[1??(1)]4?0.00063 习 题 三 12
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