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【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】
x2y22例1 【2015江苏高考】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，
2ab且右焦点F到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
x2【答案】（1）?y2?1（2）y?x?1或y??x?1．
2【解析】
a2c2试题解析：（1）由题意，得?且c??3，
ca2解得a?2，c?1，则b?1，
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x2所以椭圆的标准方程为?y2?1．
2（2）当???x轴时，???2，又C??3，不合题意．
当??与x轴不垂直时，设直线??的方程为y?k?x?1?，??x1,y1?，??x2,y2?， 将??的方程代入椭圆方程，得1?2k?2?x2?4k2x?2?k2?1??0，
则x1,2?2k2?2?1?k2?1?2k22?2k2?k?,，C的坐标为?22?，且
1?2k1?2k??2????x2?x1???y2?y1???1?k??x22?x1??222?1?k2?1?2k2．
若k?0，则线段??的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．
k1?2k2????x?从而k?0，故直线?C的方程为y??，
1?2k2k?1?2k2??2?3k2?1?1?k25k2?2??，从而?C?则?点的坐标为??2,． 22??k?1?2k??k?1?2k??因为?C?2??，所以
2?3k2?1?1?k2k?1?2k2??42?1?k2?1?2k2，解得k??1．
此时直线??方程为y?x?1或y??x?1．
例2 【2016江苏高考】
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆
M:x?y?12x?14y?60?0及其上一点A(2，4).
22(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA?TP?TQ,，求实数t的取值范围.
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【答案】（1）(x?6)2?(y?1)2?1（2）l:y?2x?5或y?2x?15（3）2?221?t?2?221 【解析】
试题解析：解：圆M的标准方程为?x?6???y?7??25，所以圆心M(6，7)，半径为5，. （1）由圆心N在直线x=6上，可设N?6,y0?.因为N与x轴相切，与圆M外切， 所以0?y0?7，于是圆N的半径为y0，从而7?y0?5?y0，解得y0?1. 因此，圆N的标准方程为?x?6???y?1??1. (2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为
22224?0?2. 2?0设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0， 则圆心M到直线l的距离
d?2?6?7?m5?m?55.
因为BC?OA?而MC2?d2?（22?42?25,
BC2）, 22?m?5?所以25?5?5，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P?x1,y1?,Q?x2,y2?.
uuruuruuur?x2?x1?2?t因为A?2,4?,T?t,0?,TA?TP?TQ，所以? ……①
y?y?4?21因为点Q在圆M上，所以?x2?6???y2?7??25. …….② 将①代入②，得?x1?t?4???y1?3??25.
于是点P?x1,y1?既在圆M上，又在圆??x??t?4?????y?3??25上，
222222!-
2从而圆?x?6???y?7??25与圆??x??t?4?????y?3??25没有公共点， 所以5?5?222???t?4??6????3?7??5?5, 解得2?221?t?2?221. 22因此，实数t的取值范围是?2?221,2?221?.
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【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P为主元，揭示P在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.
22xy例3 【2017江苏高考】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别
ab1为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线
2PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
x2y24737【答案】（1）??1；（2）(,)．
4377试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．
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c12a21因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以?，?8，
a22c22xy解得a?2,c?1，于是b?a2?c2?3，因此椭圆E的标准方程是??1．
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2x0?12222??y0，即x0?y0?1或x0?y0?1． 因为点Q在椭圆上，由对称性，得y022x0y0又P在椭圆E上，故??1．
432222?x0?x0?y0?1?y0?1?4737?22由?x2y2，解得x0?；?x，无解． ,y?y0000077?1?1????33?4?4因此点P的坐标为(4737,)． 77【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系
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