2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组a卷）

2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小

高组A卷）

一、填空题（每小题10分，共80分） 1．计算：19×0.125+281×﹣12.5＝ ．

2．农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是 九的第 天．

3．某些整数分别被，，，

除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，，

，，则满足条件且大于1的最小整数是 ．

4．如图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB．则三角形PAC的面积等于 平方厘米．

5．有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有 个．

6．两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为 ．

7．设n是小于50的自然数，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可能值之和为 ．

8．由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括地面）所有黑点的总数至少是 ．

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二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式． 10．小明与小华同在小六（1）班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”．问这个班有多少名学生？

11．小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水流速1.5千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流． 船在静水中的速度是3 千米/小时；问：小虎的船最远可以离租船处多少千米？

12．由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子，请说明理由．

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形，若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？

14．（15分）不为零的自然数n既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？

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2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试

卷（小高组A卷）

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题10分，共80分） 1．计算：19×0.125+281×﹣12.5＝ 25 ． 【分析】根据乘法分配律进行简算即可． 【解答】解：根据题意可得： 19×0.125+281×﹣12.5，

＝19×0.125+281×0.125﹣100×0.125， ＝（19+281﹣100）×0.125， ＝200×0.125， ＝25． 故答案为：25．

2．农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是 二 九的第 3 天．

【分析】先求出2012年12月21日到2013年的元旦经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可． 【解答】解：2012年12月21日到2013年的元旦共有12天， 12÷9＝1…3，

说明已经经过了1个9天，还余3天，这一天就是二九的第3天． 答：2013年的元旦是二九的第3天． 故答案为：二，3． 3．某些整数分别被，，，

除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，，

，，则满足条件且大于1的最小整数是 316 ．

【分析】观察所得的商的分数部分：，，，，分子都是2，分母分别为这些分数

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的，，，分子，所以只要求出3、5、7、9的最小公倍数再加1即可．

【解答】解：3、5、7、9的最小公倍数是：3×3×5×7＝315， 所以满足条件且大于1的最小整数是：315+1＝316； 故答案为：316．

4．如图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB．则三角形PAC的面积等于 12 平方厘米．

【分析】过P点作PE⊥AB，PF⊥BC，三角形PAC的面积＝三角形PAB的面积+三角形PBC的面积﹣三角形ABC的面积．

【解答】解：因为102﹣（12÷2）2＝64，则PE＝8，PF＝6， 所以三角形PAB的面积为：12×8÷2＝48（平方厘米）， 三角形PBC的面积为：12×6÷2＝36（平方厘米）， 阴影部分的面积为：48+36﹣12×12÷2， ＝84﹣72， ＝12（平方厘米）；

答：三角形PAC的面积等于12平方厘米． 故答案为：12．

5．有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有 62 个．

【分析】因为11÷3，10÷4，12÷5余数都是2，因此这筐苹果的个数就是3、4、5的最小公倍数加上2即可． 【解答】解：11÷3＝3…2，

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10÷4＝2…2， 12÷5＝2…2，

3×4×5+2＝60+2＝62（个）； 答：这筐苹果至少有62个． 故答案为：62．

6．两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为 74 ．

【分析】观察图形可知，大正方体与小正方体的相连的两个面如图所示：因为大正方体的棱长是3，则四周的小直角三角形的直角边分别是2、1；如果把四周的四个直角三角形剪下来，正好拼成一个边长是2的正方形，根据正方形的面积公式可得：大正方体的一个面的面积是3×3＝9，则小正方体的一个面的面积就是9﹣2×2＝5；则这个立方体的表面积就是大正方体的表面积与小正方体的四个面的面积之和，据此即可解答．

【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：3×3＝9， 小正方体一个面的面积是：2×2＝4， 9﹣4＝5，

所以这个立体图形的表面积是： 9×6+5×4， ＝54+20， ＝74，

答：这个立体图形的表面积是74． 故答案为：74．

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